MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vs 20893
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (ax-hvmul0 31029 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0vs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmod0vs.o 𝑂 = (0g𝐹)
lmod0vs.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vs ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmod0vs.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 20866 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 lmod0vs.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝐹)
75, 6ring0cl 20264 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9 simpr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10 lmod0vs.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 lmod0vs.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
13 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1410, 11, 2, 12, 5, 13lmodvsdir 20884 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉)) → ((𝑂(+g𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
151, 8, 8, 9, 14syl13anc 1374 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑂(+g𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16 ringgrp 20235 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
174, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
185, 13, 6grplid 18985 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g𝐹)𝑂) = 𝑂)
1917, 8, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂(+g𝐹)𝑂) = 𝑂)
2019oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑂(+g𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
2115, 20eqtr3d 2779 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
2210, 2, 12, 5lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
231, 8, 9, 22syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24 lmod0vs.z . . . . 5 0 = (0g𝑊)
2510, 11, 24lmod0vid 20892 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
2623, 25syldan 591 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
2721, 26mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
2827eqcomd 2743 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  Ringcrg 20230  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ring 20232  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  lmodvs0  20894  lmodvsmmulgdi  20895  lcomfsupp  20900  lmodvneg1  20903  mptscmfsupp0  20925  lvecvs0or  21110  lssvs0or  21112  lspsneleq  21117  lspdisj  21127  lspfixed  21130  lspexch  21131  lspsolvlem  21144  lspsolv  21145  uvcresum  21813  frlmsslsp  21816  frlmup1  21818  frlmup2  21819  ascl0  21904  mplcoe1  22055  mplbas2  22060  ply10s0  22259  ply1scl0OLD  22294  gsummoncoe1  22312  evls1fpws  22373  pmatcollpwscmatlem1  22795  idpm2idmp  22807  mp2pm2mplem4  22815  pm2mpmhmlem1  22824  monmat2matmon  22830  cpmidpmatlem3  22878  clm0vs  25128  plypf1  26251  lmodslmd  33210  r1p0  33626  ply1degltdimlem  33673  lbsdiflsp0  33677  fedgmullem2  33681  lshpkrlem1  39111  ldual0vs  39161  lclkrlem1  41508  lcd0vs  41617  baerlem3lem1  41709  baerlem5blem1  41711  hdmap14lem2a  41869  hdmap14lem4a  41873  hdmap14lem6  41875  hgmapval0  41894  selvvvval  42595  prjspersym  42617  prjspreln0  42619  prjspner1  42636  lmod0rng  48145  scmsuppss  48287  lmodvsmdi  48295  ply1mulgsumlem4  48306  lincval1  48336  lincvalsc0  48338  linc0scn0  48340  linc1  48342  ldepsprlem  48389
  Copyright terms: Public domain W3C validator