Theorem lmod0vs 21150

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (ax-hvmul0 31594 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vs	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vs.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 21123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmod0vs.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7	5, 6	ring0cl 20476	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lmod0vs.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		lmod0vs.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
14	10, 11, 2, 12, 5, 13	lmodvsdir 21141	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
15	1, 8, 8, 9, 14	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16		ringgrp 20444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
18	5, 13, 6	grplid 19158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
19	17, 8, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
20	19	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
21	15, 20	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
22	10, 2, 12, 5	lmodvscl 21133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 8, 9, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24		lmod0vs.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	10, 11, 24	lmod0vid 21149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
26	23, 25	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
27	21, 26	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
28	27	eqcomd 2767	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  Ringcrg 20439  LModclmod 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-ring 20441  df-lmod 21117

This theorem is used by:  lmodvs0  21151  lmodvsmmulgdi  21152  lcomfsupp  21157  lmodvneg1  21160  mptscmfsupp0  21182  lvecvs0or  21366  lssvs0or  21368  lspsneleq  21373  lspdisj  21383  lspfixed  21386  lspexch  21387  lspsolvlem  21400  lspsolv  21401  uvcresum  22079  frlmsslsp  22082  frlmup1  22084  frlmup2  22085  ascl0  22172  mplcoe1  22326  mplbas2  22331  selvvvval  22431  ply10s0  22555  gsummoncoe1  22606  evls1fpws  22667  pmatcollpwscmatlem1  23087  idpm2idmp  23099  mp2pm2mplem4  23107  pm2mpmhmlem1  23116  monmat2matmon  23122  cpmidpmatlem3  23170  clm0vs  25396  plypf1  26511  lmodslmd  33747  ply1coedeg  34103  r1p0  34120  ply1degltdimlem  34236  lbsdiflsp0  34240  fedgmullem2  34244  extdgfialglem2  34307  lshpkrlem1  40135  ldual0vs  40185  lclkrlem1  42531  lcd0vs  42640  baerlem3lem1  42732  baerlem5blem1  42734  hdmap14lem2a  42892  hdmap14lem4a  42896  hdmap14lem6  42898  hgmapval0  42917  prjspersym  43597  prjspreln0  43599  prjspner1  43616  lmod0rng  49270  scmsuppss  49427  lmodvsmdi  49435  ply1mulgsumlem4  49445  lincval1  49475  lincvalsc0  49477  linc0scn0  49479  linc1  49481  ldepsprlem  49528