MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublecllem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lublecllem 18315
Description: Lemma for lublecl 18316 and lubid 18317. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lublecl.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lublecl.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lublecl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
lublecl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lublecllem ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)) ↔ π‘₯ = 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧, ≀   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐾,π‘₯,𝑧   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐾(𝑦)
Proof of Theorem lublecllem
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ 𝑧 ≀ 𝑋))
21ralrab 3689 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
31ralrab 3689 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))
43imbi1i 349 . . . 4 ((βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
54ralbii 3093 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
62, 5anbi12i 627 . 2 ((βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)))
7 lublecl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 lublecl.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
9 lublecl.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 lublecl.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
119, 10posref 18273 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
128, 7, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
13 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ 𝑋))
14 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ 𝑋 ≀ π‘₯))
1513, 14imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ (𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ π‘₯)))
1615rspcva 3610 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ π‘₯))
1712, 16syl5com 31 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑋 ≀ π‘₯))
187, 17mpand 693 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) β†’ 𝑋 ≀ π‘₯))
1918adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) β†’ 𝑋 ≀ π‘₯))
20 idd 24 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋))
2120rgen 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)
22 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ 𝑋))
2322imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑋 β†’ ((𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) ↔ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)))
2423ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)))
25 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ≀ 𝑋))
2624, 25imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ 𝑋)))
2726rspcv 3608 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ 𝑋)))
287, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ 𝑋)))
2921, 28mpii 46 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑋))
3029adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑋))
318adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
32 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
337adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
349, 10posasymb 18274 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑋))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑋))
3635biimpd 228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑋))
3736ancomsd 466 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋))
3819, 30, 37syl2and 608 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)) β†’ π‘₯ = 𝑋))
39 breq2 5152 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ 𝑧 ≀ 𝑋))
4039biimprd 247 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
4140ralrimivw 3150 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
4241adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
437adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
44 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑋 ≀ 𝑀))
4513, 44imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) ↔ (𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ 𝑀)))
4645rspcva 3610 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ 𝑀))
47 pm5.5 361 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ 𝑀) ↔ 𝑋 ≀ 𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ 𝑀) ↔ 𝑋 ≀ 𝑀))
49 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 𝑋 ≀ 𝑀))
5049bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑋 ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ≀ 𝑀))
5148, 50sylan9bb 510 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 ≀ 𝑀) ↔ π‘₯ ≀ 𝑀))
5246, 51imbitrid 243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
5343, 52mpand 693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
5453ralrimivw 3150 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
5554adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
5642, 55jca 512 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)))
5756ex 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))))
5838, 57impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)) ↔ π‘₯ = 𝑋))
596, 58bitrid 282 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}𝑧 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)) ↔ π‘₯ = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  Posetcpo 18262  lubclub 18264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-proset 18250  df-poset 18268
This theorem is referenced by:  lublecl  18316  lubid  18317
  Copyright terms: Public domain W3C validator