MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  luble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem luble 18350
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubprop.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubprop.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubprop.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
lubprop.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
luble.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
luble (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))

Proof of Theorem luble
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . 2 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ↔ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†)))
2 lubprop.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 lubprop.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 lubprop.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
5 lubprop.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
6 lubprop.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
72, 3, 4, 5, 6lubprop 18349 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
87simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
9 luble.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
101, 8, 9rspcdva 3610 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  Basecbs 17179  lecple 17239  lubclub 18300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-lub 18337
This theorem is referenced by:  ple1  18421  lubsscl  47979
  Copyright terms: Public domain W3C validator