MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  luble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem luble 18320
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubprop.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubprop.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubprop.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
lubprop.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
luble.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
luble (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))

Proof of Theorem luble
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5142 . 2 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ↔ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†)))
2 lubprop.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 lubprop.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 lubprop.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
5 lubprop.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
6 lubprop.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
72, 3, 4, 5, 6lubprop 18319 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
87simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
9 luble.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
101, 8, 9rspcdva 3605 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  lecple 17209  lubclub 18270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-lub 18307
This theorem is referenced by:  ple1  18391  lubsscl  47840
  Copyright terms: Public domain W3C validator