MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lublecl 18406
Description: The set of all elements less than a given element has an LUB. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublecl.l = (le‘𝐾)
lublecl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lublecl.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
lublecl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lublecl (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem lublecl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . 3 {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵)
3 lublecl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 lublecl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublecl.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 lublecl.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
7 lublecl.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
84, 5, 6, 7, 3lublecllem 18405 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
98ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
10 reu6i 3734 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
113, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
12 biid 261 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
134, 5, 6, 12, 7lubeldm 18398 . 2 (𝜑 → ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈 ↔ ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))))
142, 11, 13mpbir2and 713 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  lubclub 18355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391
This theorem is referenced by:  lubprlem  48859
  Copyright terms: Public domain W3C validator