MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndbn0 18681
Description: The base set of a monoid is not empty. Statement in [Lang] p. 3. (Contributed by AV, 29-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
mndbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndbn0 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem mndbn0
StepHypRef Expression
1 mndbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2726 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
31, 2mndidcl 18680 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
43ne0d 4330 1 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  c0 4317  cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Mndcmnd 18665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666
This theorem is referenced by:  slmdbn0  32857  slmdsn0  32860
  Copyright terms: Public domain W3C validator