Theorem mndbn0 18855

Description: The base set of a monoid is not empty. Statement in [Lang] p. 3. (Contributed by AV, 29-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
mndbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndbn0	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem mndbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	mndidcl 18854	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4291	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Mndcmnd 18838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839

This theorem is used by:  slmdbn0  33635  slmdsn0  33638