MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndbn0 18710
Description: The base set of a monoid is not empty. Statement in [Lang] p. 3. (Contributed by AV, 29-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
mndbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndbn0 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem mndbn0
StepHypRef Expression
1 mndbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2728 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
31, 2mndidcl 18709 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
43ne0d 4336 1 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  c0 4323  cfv 6548  Basecbs 17180  0gc0g 17421  Mndcmnd 18694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695
This theorem is referenced by:  slmdbn0  32928  slmdsn0  32931
  Copyright terms: Public domain W3C validator