MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndbn0 17927
Description: The base set of a monoid is not empty. Statement in [Lang] p. 3. (Contributed by AV, 29-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
mndbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndbn0 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem mndbn0
StepHypRef Expression
1 mndbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2824 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
31, 2mndidcl 17926 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
43ne0d 4284 1 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  c0 4276  cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  Mndcmnd 17911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912
This theorem is referenced by:  slmdbn0  30868  slmdsn0  30871
  Copyright terms: Public domain W3C validator