Theorem mndidcl 18774

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18769	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18691	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485  Mndcmnd 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760

This theorem is referenced by:  mndbn0  18775  hashfinmndnn  18776  mndpfo  18782  mndpsuppss  18790  prdsidlem  18794  imasmnd  18800  xpsmnd0  18803  idmhm  18820  mhmf1o  18821  mndvlid  18824  mndvrid  18825  issubmd  18831  submid  18835  0subm  18842  0mhm  18844  mhmco  18848  mhmeql  18851  submacs  18852  mndind  18853  prdspjmhm  18854  pwsdiagmhm  18856  pwsco1mhm  18857  pwsco2mhm  18858  gsumvallem2  18859  dfgrp2  18992  grpidcl  18995  mhmid  19093  mhmmnd  19094  mulgnn0cl  19120  mulgnn0z  19131  cntzsubm  19368  oppgmnd  19387  gex1  19623  mulgnn0di  19857  mulgmhm  19859  subcmn  19869  gsumval3  19939  gsumzcl2  19942  gsumzaddlem  19953  gsumzsplit  19959  gsumzmhm  19969  gsummpt1n0  19997  simpgnideld  20133  srgidcl  20216  srg0cl  20217  ringidcl  20279  gsummgp0  20331  c0mgm  20475  c0mhm  20476  c0snmgmhm  20478  c0snmhm  20479  pwssplit1  21075  rngqiprngimf1  21327  dsmm0cl  21777  dsmmacl  21778  mhmcompl  22399  mdet0  22627  mndifsplit  22657  gsummatr01lem3  22678  pmatcollpw3fi1lem1  22807  tmdmulg  24115  tmdgsum  24118  tsms0  24165  tsmssplit  24175  tsmsxp  24178  mndlactfo  33014  mndractfo  33016  mndlactf1o  33017  mndractf1o  33018  gsumwun  33050  cntzsnid  33054  submomnd  33069  omndmul2  33071  omndmul3  33072  omndmul  33073  ogrpinv0le  33074  gsumle  33083  slmd0vcl  33209  ply1degltdimlem  33649  lvecendof1f1o  33660  sibf0  34315  sitmcl  34332  primrootsunit1  42078  primrootscoprmpow  42080  primrootscoprbij  42083  evl1gprodd  42098  ringexp0nn  42115  aks6d1c5lem2  42119  pwssplit4  43077  mgpsumz  48206  lco0  48272  mndtccatid  48895