Theorem mndidcl 18939

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18933	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18846	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924

This theorem is used by:  mndbn0  18940  hashfinmndnn  18941  mndpfoOLD  18949  mndpsuppss  18959  prdsidlem  18963  imasmnd  18969  xpsmnd0  18972  idmhm  18990  mhmf1o  18991  mndvlid  18994  mndvrid  18995  issubmd  19001  submid  19005  0subm  19013  0mhm  19015  mhmco  19019  mhmeql  19022  submacs  19023  mndind  19024  prdspjmhm  19025  pwsdiagmhm  19027  pwsco1mhm  19028  pwsco2mhm  19029  gsumvallem2  19030  dfgrp2  19173  grpidcl  19176  mhmid  19273  mhmmnd  19274  mulgnn0cl  19300  mulgnn0z  19311  cntzsubm  19552  oppgmnd  19568  gex1  19805  mulgnn0di  20039  mulgmhm  20041  subcmn  20051  gsumval3  20121  gsumzcl2  20124  gsumzaddlem  20135  gsumzsplit  20141  gsumzmhm  20151  gsummpt1n0  20179  simpgnideld  20315  submomnd  20346  omndmul2  20347  omndmul3  20348  omndmul  20349  ogrpinv0le  20350  gsumle  20359  srgidcl  20425  srg0cl  20426  ringidcl  20494  gsummgp0  20547  c0mgm  20689  c0mhm  20690  c0snmgmhm  20692  c0snmhm  20693  pwssplit1  21334  rngqiprngimf1  21596  dsmm0cl  22046  dsmmacl  22047  mhmcompl  22430  mdet0  22921  mndifsplit  22951  gsummatr01lem3  22972  pmatcollpw3fi1lem1  23104  tmdmulg  24411  tmdgsum  24414  tsms0  24461  tsmssplit  24471  tsmsxp  24474  mndlactfo  33588  mndractfo  33590  mndlactf1o  33591  mndractf1o  33592  suppgsumssiun  33633  gsumwun  33637  cntzsnid  33641  fxpsubm  33733  slmd0vcl  33782  ply1degltdimlem  34254  lvecendof1f1o  34265  sibf0  34966  sitmcl  34983  primrootsunit1  43147  primrootscoprmpow  43149  primrootscoprbij  43152  evl1gprodd  43167  ringexp0nn  43184  aks6d1c5lem2  43188  pwssplit4  44090  mgpsumz  49473  lco0  49538  mndtccatid  50694