MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndidcl 17914
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndidcl (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndidcl.o . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2818 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 3mndid 17909 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦))
51, 2, 3, 4mgmidcl 17864 1 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900
This theorem is referenced by:  mndbn0  17915  hashfinmndnn  17916  mndpfo  17922  prdsidlem  17931  imasmnd  17937  idmhm  17953  mhmf1o  17954  issubmd  17959  submid  17963  0subm  17970  0mhm  17972  mhmco  17976  mhmeql  17978  submacs  17979  mndind  17980  prdspjmhm  17981  pwsdiagmhm  17983  pwsco1mhm  17984  pwsco2mhm  17985  gsumvallem2  17986  dfgrp2  18066  grpidcl  18069  mhmid  18158  mhmmnd  18159  mulgnn0cl  18182  mulgnn0z  18192  cntzsubm  18404  oppgmnd  18420  gex1  18645  mulgnn0di  18875  mulgmhm  18877  subcmn  18886  gsumval3  18956  gsumzcl2  18959  gsumzaddlem  18970  gsumzsplit  18976  gsumzmhm  18986  gsummpt1n0  19014  simpgnideld  19150  srgidcl  19197  srg0cl  19198  ringidcl  19247  gsummgp0  19287  pwssplit1  19760  dsmm0cl  20812  dsmmacl  20813  mndvlid  20932  mndvrid  20933  mdet0  21143  mndifsplit  21173  gsummatr01lem3  21194  pmatcollpw3fi1lem1  21322  tmdmulg  22628  tmdgsum  22631  tsms0  22677  tsmssplit  22687  tsmsxp  22690  cntzsnid  30623  submomnd  30638  omndmul2  30640  omndmul3  30641  omndmul  30642  ogrpinv0le  30643  gsumle  30652  slmd0vcl  30776  sibf0  31491  sitmcl  31508  pwssplit4  39567  c0mgm  44108  c0mhm  44109  c0snmgmhm  44113  c0snmhm  44114  mgpsumz  44338  mndpsuppss  44347  lco0  44410
  Copyright terms: Public domain W3C validator