Theorem mndidcl 18762

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18757	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18679	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748

This theorem is referenced by:  mndbn0  18763  hashfinmndnn  18764  mndpfo  18770  mndpsuppss  18778  prdsidlem  18782  imasmnd  18788  xpsmnd0  18791  idmhm  18808  mhmf1o  18809  mndvlid  18812  mndvrid  18813  issubmd  18819  submid  18823  0subm  18830  0mhm  18832  mhmco  18836  mhmeql  18839  submacs  18840  mndind  18841  prdspjmhm  18842  pwsdiagmhm  18844  pwsco1mhm  18845  pwsco2mhm  18846  gsumvallem2  18847  dfgrp2  18980  grpidcl  18983  mhmid  19081  mhmmnd  19082  mulgnn0cl  19108  mulgnn0z  19119  cntzsubm  19356  oppgmnd  19373  gex1  19609  mulgnn0di  19843  mulgmhm  19845  subcmn  19855  gsumval3  19925  gsumzcl2  19928  gsumzaddlem  19939  gsumzsplit  19945  gsumzmhm  19955  gsummpt1n0  19983  simpgnideld  20119  srgidcl  20196  srg0cl  20197  ringidcl  20262  gsummgp0  20315  c0mgm  20459  c0mhm  20460  c0snmgmhm  20462  c0snmhm  20463  pwssplit1  21058  rngqiprngimf1  21310  dsmm0cl  21760  dsmmacl  21761  mhmcompl  22384  mdet0  22612  mndifsplit  22642  gsummatr01lem3  22663  pmatcollpw3fi1lem1  22792  tmdmulg  24100  tmdgsum  24103  tsms0  24150  tsmssplit  24160  tsmsxp  24163  mndlactfo  33032  mndractfo  33034  mndlactf1o  33035  mndractf1o  33036  gsumwun  33068  cntzsnid  33072  submomnd  33087  omndmul2  33089  omndmul3  33090  omndmul  33091  ogrpinv0le  33092  gsumle  33101  slmd0vcl  33227  ply1degltdimlem  33673  lvecendof1f1o  33684  sibf0  34336  sitmcl  34353  primrootsunit1  42098  primrootscoprmpow  42100  primrootscoprbij  42103  evl1gprodd  42118  ringexp0nn  42135  aks6d1c5lem2  42139  pwssplit4  43101  mgpsumz  48278  lco0  48344  mndtccatid  49184