Theorem mndidcl 18717

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18712	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18634	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  mndbn0  18718  hashfinmndnn  18719  mndpfo  18725  mndpsuppss  18733  prdsidlem  18737  imasmnd  18743  xpsmnd0  18746  idmhm  18763  mhmf1o  18764  mndvlid  18767  mndvrid  18768  issubmd  18774  submid  18778  0subm  18785  0mhm  18787  mhmco  18791  mhmeql  18794  submacs  18795  mndind  18796  prdspjmhm  18797  pwsdiagmhm  18799  pwsco1mhm  18800  pwsco2mhm  18801  gsumvallem2  18802  dfgrp2  18938  grpidcl  18941  mhmid  19039  mhmmnd  19040  mulgnn0cl  19066  mulgnn0z  19077  cntzsubm  19313  oppgmnd  19329  gex1  19566  mulgnn0di  19800  mulgmhm  19802  subcmn  19812  gsumval3  19882  gsumzcl2  19885  gsumzaddlem  19896  gsumzsplit  19902  gsumzmhm  19912  gsummpt1n0  19940  simpgnideld  20076  submomnd  20107  omndmul2  20108  omndmul3  20109  omndmul  20110  ogrpinv0le  20111  gsumle  20120  srgidcl  20180  srg0cl  20181  ringidcl  20246  gsummgp0  20297  c0mgm  20439  c0mhm  20440  c0snmgmhm  20442  c0snmhm  20443  pwssplit1  21054  rngqiprngimf1  21298  dsmm0cl  21720  dsmmacl  21721  mhmcompl  22345  mdet0  22571  mndifsplit  22601  gsummatr01lem3  22622  pmatcollpw3fi1lem1  22751  tmdmulg  24057  tmdgsum  24060  tsms0  24107  tsmssplit  24117  tsmsxp  24120  mndlactfo  33087  mndractfo  33089  mndlactf1o  33090  mndractf1o  33091  suppgsumssiun  33133  gsumwun  33137  cntzsnid  33141  fxpsubm  33233  slmd0vcl  33282  ply1degltdimlem  33766  lvecendof1f1o  33777  sibf0  34478  sitmcl  34495  primrootsunit1  42536  primrootscoprmpow  42538  primrootscoprbij  42541  evl1gprodd  42556  ringexp0nn  42573  aks6d1c5lem2  42577  pwssplit4  43517  mgpsumz  48838  lco0  48903  mndtccatid  50062