Theorem mndidcl 18381

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18376	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18331	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  0_gc0g 17131  Mndcmnd 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367

This theorem is referenced by:  mndbn0  18382  hashfinmndnn  18383  mndpfo  18389  prdsidlem  18398  imasmnd  18404  idmhm  18420  mhmf1o  18421  issubmd  18426  submid  18430  0subm  18437  0mhm  18439  mhmco  18443  mhmeql  18445  submacs  18446  mndind  18447  prdspjmhm  18448  pwsdiagmhm  18450  pwsco1mhm  18451  pwsco2mhm  18452  gsumvallem2  18453  dfgrp2  18585  grpidcl  18588  mhmid  18677  mhmmnd  18678  mulgnn0cl  18701  mulgnn0z  18711  cntzsubm  18923  oppgmnd  18942  gex1  19177  mulgnn0di  19408  mulgmhm  19410  subcmn  19419  gsumval3  19489  gsumzcl2  19492  gsumzaddlem  19503  gsumzsplit  19509  gsumzmhm  19519  gsummpt1n0  19547  simpgnideld  19683  srgidcl  19735  srg0cl  19736  ringidcl  19788  gsummgp0  19828  pwssplit1  20302  dsmm0cl  20928  dsmmacl  20929  mndvlid  21523  mndvrid  21524  mdet0  21736  mndifsplit  21766  gsummatr01lem3  21787  pmatcollpw3fi1lem1  21916  tmdmulg  23224  tmdgsum  23227  tsms0  23274  tsmssplit  23284  tsmsxp  23287  cntzsnid  31300  submomnd  31315  omndmul2  31317  omndmul3  31318  omndmul  31319  ogrpinv0le  31320  gsumle  31329  slmd0vcl  31453  sibf0  32280  sitmcl  32297  pwssplit4  40894  c0mgm  45419  c0mhm  45420  c0snmgmhm  45424  c0snmhm  45425  mgpsumz  45650  mndpsuppss  45659  lco0  45720  mndtccatid  46326