Theorem mndidcl 18712

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18707	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18629	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  0_gc0g 17424  Mndcmnd 18697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698

This theorem is referenced by:  mndbn0  18713  hashfinmndnn  18714  mndpfo  18720  prdsidlem  18729  imasmnd  18735  xpsmnd0  18738  idmhm  18755  mhmf1o  18756  mndvlid  18759  mndvrid  18760  issubmd  18766  submid  18770  0subm  18777  0mhm  18779  mhmco  18783  mhmeql  18786  submacs  18787  mndind  18788  prdspjmhm  18789  pwsdiagmhm  18791  pwsco1mhm  18792  pwsco2mhm  18793  gsumvallem2  18794  dfgrp2  18927  grpidcl  18930  mhmid  19027  mhmmnd  19028  mulgnn0cl  19053  mulgnn0z  19064  cntzsubm  19301  oppgmnd  19320  gex1  19558  mulgnn0di  19792  mulgmhm  19794  subcmn  19804  gsumval3  19874  gsumzcl2  19877  gsumzaddlem  19888  gsumzsplit  19894  gsumzmhm  19904  gsummpt1n0  19932  simpgnideld  20068  srgidcl  20151  srg0cl  20152  ringidcl  20214  gsummgp0  20266  c0mgm  20410  c0mhm  20411  c0snmgmhm  20413  c0snmhm  20414  pwssplit1  20956  rngqiprngimf1  21207  dsmm0cl  21691  dsmmacl  21692  mhmcompl  22324  mdet0  22552  mndifsplit  22582  gsummatr01lem3  22603  pmatcollpw3fi1lem1  22732  tmdmulg  24040  tmdgsum  24043  tsms0  24090  tsmssplit  24100  tsmsxp  24103  cntzsnid  32865  submomnd  32880  omndmul2  32882  omndmul3  32883  omndmul  32884  ogrpinv0le  32885  gsumle  32894  slmd0vcl  33020  ply1degltdimlem  33451  sibf0  34085  sitmcl  34102  primrootsunit1  41699  primrootscoprmpow  41702  primrootscoprbij  41705  evl1gprodd  41720  ringexp0nn  41737  aks6d1c5lem2  41741  pwssplit4  42655  mgpsumz  47612  mndpsuppss  47621  lco0  47681  mndtccatid  48285