Theorem mndidcl 18400

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18395	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 18350	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386

This theorem is referenced by:  mndbn0  18401  hashfinmndnn  18402  mndpfo  18408  prdsidlem  18417  imasmnd  18423  idmhm  18439  mhmf1o  18440  issubmd  18445  submid  18449  0subm  18456  0mhm  18458  mhmco  18462  mhmeql  18464  submacs  18465  mndind  18466  prdspjmhm  18467  pwsdiagmhm  18469  pwsco1mhm  18470  pwsco2mhm  18471  gsumvallem2  18472  dfgrp2  18604  grpidcl  18607  mhmid  18696  mhmmnd  18697  mulgnn0cl  18720  mulgnn0z  18730  cntzsubm  18942  oppgmnd  18961  gex1  19196  mulgnn0di  19427  mulgmhm  19429  subcmn  19438  gsumval3  19508  gsumzcl2  19511  gsumzaddlem  19522  gsumzsplit  19528  gsumzmhm  19538  gsummpt1n0  19566  simpgnideld  19702  srgidcl  19754  srg0cl  19755  ringidcl  19807  gsummgp0  19847  pwssplit1  20321  dsmm0cl  20947  dsmmacl  20948  mndvlid  21542  mndvrid  21543  mdet0  21755  mndifsplit  21785  gsummatr01lem3  21806  pmatcollpw3fi1lem1  21935  tmdmulg  23243  tmdgsum  23246  tsms0  23293  tsmssplit  23303  tsmsxp  23306  cntzsnid  31321  submomnd  31336  omndmul2  31338  omndmul3  31339  omndmul  31340  ogrpinv0le  31341  gsumle  31350  slmd0vcl  31474  sibf0  32301  sitmcl  32318  pwssplit4  40914  c0mgm  45467  c0mhm  45468  c0snmgmhm  45472  c0snmhm  45473  mgpsumz  45698  mndpsuppss  45707  lco0  45768  mndtccatid  46374