Theorem mptfcl 43838

Description: Interpret range of a maps-to notation as a constraint on the definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mptfcl	⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem mptfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fmpt 7113	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		rsp 3250	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))
4	2, 3	sylbir 238	1 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545

This theorem is used by:  mzpsubmpt  43861  eq0rabdioph  43894  eqrabdioph  43895