Theorem mptfcl 43997

Description: Interpret range of a maps-to notation as a constraint on the definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mptfcl	⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem mptfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fmpt 7142	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		rsp 3254	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))
4	2, 3	sylbir 238	1 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570

This theorem is used by:  mzpsubmpt  44020  eq0rabdioph  44053  eqrabdioph  44054