Theorem mptfcl 43710

Description: Interpret range of a maps-to notation as a constraint on the definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mptfcl	⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem mptfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fmpt 7108	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		rsp 3251	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))
4	2, 3	sylbir 238	1 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is used by:  mzpsubmpt  43733  eq0rabdioph  43766  eqrabdioph  43767