Theorem mptfcl 41391

Description: Interpret range of a maps-to notation as a constraint on the definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mptfcl	⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem mptfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fmpt 7105	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		rsp 3245	. 2 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))
4	2, 3	sylbir 234	1 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  41414  eq0rabdioph  41447  eqrabdioph  41448