Theorem mapfzcons2 39323

Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfzcons.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
2		ovex 7191	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2911	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5		elex 3514	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	5	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7		elmapi 8430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8	7	fdmd 6525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
9	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
10	9	ineq1d 4190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
11	1	sneqi 4580	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
12	11	ineq2i 4188	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13		fzp1disj 12969	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
14	12, 13	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
15	10, 14	syl6eq 2874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16		disjsn 4649	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
17	15, 16	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18		fsnunfv 6951	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
19	4, 6, 17, 18	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937  ∅c0 4293  {csn 4569  ⟨cop 4575  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  1c1 10540   + caddc 10542  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  39398