Theorem mapfzcons2 42376

Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfzcons.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
2		ovex 7457	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2822	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5		elex 3482	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	5	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7		elmapi 8878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8	7	fdmd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
10	9	ineq1d 4212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
11	1	sneqi 4644	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
12	11	ineq2i 4210	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13		fzp1disj 13614	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
14	12, 13	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
15	10, 14	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16		disjsn 4720	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
17	15, 16	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18		fsnunfv 7201	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
19	4, 6, 17, 18	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4325  {csn 4633  ⟨cop 4639  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  1c1 11159   + caddc 11161  ...cfz 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42451