Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons2 42203
Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4 𝑀 = (𝑁 + 1)
2 ovex 7448 . . . 4 (𝑁 + 1) ∈ V
31, 2eqeltri 2821 . . 3 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5 elex 3482 . . 3 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
65adantl 480 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7 elmapi 8864 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
87fdmd 6727 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
98adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
109ineq1d 4205 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
111sneqi 4635 . . . . . 6 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
1211ineq2i 4203 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13 fzp1disj 13590 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1412, 13eqtri 2753 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
1510, 14eqtrdi 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16 disjsn 4711 . . 3 ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
1715, 16sylib 217 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18 fsnunfv 7191 . 2 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
194, 6, 17, 18syl3anc 1368 1 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cun 3938  cin 3939  c0 4318  {csn 4624  cop 4630  dom cdm 5672  cfv 6542  (class class class)co 7415  m cmap 8841  1c1 11137   + caddc 11139  ...cfz 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42278
  Copyright terms: Public domain W3C validator