Theorem mapfzcons2 43300

Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfzcons.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
2		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	5	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7		elmapi 8830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8	7	fdmd 6702	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
10	9	ineq1d 4171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
11	1	sneqi 4593	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
12	11	ineq2i 4169	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13		fzp1disj 13588	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
14	12, 13	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
15	10, 14	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16		disjsn 4670	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
17	15, 16	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18		fsnunfv 7171	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
19	4, 6, 17, 18	syl3anc 1390	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4582  ⟨cop 4588  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  1c1 11074   + caddc 11076  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  43371