Theorem mapfzcons2 38125

Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfzcons.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
2		ovex 6936	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2901	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5		elex 3428	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	5	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7		elmapi 8143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8	7	fdmd 6286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
9	8	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
10	9	ineq1d 4039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
11	1	sneqi 4407	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
12	11	ineq2i 4037	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13		fzp1disj 12692	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
14	12, 13	eqtri 2848	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
15	10, 14	syl6eq 2876	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16		disjsn 4464	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
17	15, 16	sylib 210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18		fsnunfv 6708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
19	4, 6, 17, 18	syl3anc 1496	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413   ∪ cun 3795   ∩ cin 3796  ∅c0 4143  {csn 4396  ⟨cop 4402  dom cdm 5341  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↑_𝑚 cmap 8121  1c1 10252   + caddc 10254  ...cfz 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  38201