Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons2 39591
 Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4 𝑀 = (𝑁 + 1)
2 ovex 7173 . . . 4 (𝑁 + 1) ∈ V
31, 2eqeltri 2910 . . 3 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5 elex 3487 . . 3 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
65adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7 elmapi 8415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
87fdmd 6504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
98adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
109ineq1d 4162 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
111sneqi 4550 . . . . . 6 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
1211ineq2i 4160 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
13 fzp1disj 12961 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1412, 13eqtri 2845 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
1510, 14syl6eq 2873 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
16 disjsn 4621 . . 3 ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
1715, 16sylib 221 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18 fsnunfv 6931 . 2 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
194, 6, 17, 18syl3anc 1368 1 ((𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4265  {csn 4539  ⟨cop 4545  dom cdm 5532  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  1c1 10527   + caddc 10529  ...cfz 12885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  39666
 Copyright terms: Public domain W3C validator