Theorem mzpsubmpt 43707

Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpsubmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpsubmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5204	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2	1	nfel1 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)
3		nfmpt1 5204	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)
4	3	nfel1 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)
5	2, 4	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		mzpf 43700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
9		mptfcl 43684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐵 ∈ ℤ))
10	7, 8, 9	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11749	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
13	12	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + -𝐵))
14		mzpf 43700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
16		mptfcl 43684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐴 ∈ ℤ))
17	15, 8, 16	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 11656	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	5, 20	mpteq2da 5197	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22		elfvex 6912	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
23		neg1z 12713	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
24		mzpconstmpt 43704	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
26		mzpmulmpt 43706	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
27	25, 26	mpancom 701	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
28		mzpaddmpt 43705	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
29	27, 28	sylan2 605	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
30	21, 29	eqeltrd 2861	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523  ℤcz 12674  mzPolycmzp 43686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-mzpcl 43687  df-mzp 43688

This theorem is used by:  mzpnegmpt  43708  eqrabdioph  43741  lerabdioph  43765  ltrabdioph  43768  rmydioph  43974  rmxdioph  43976  expdiophlem2  43982