Theorem mzpsubmpt 43094

Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpsubmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpsubmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5199	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2	1	nfel1 2916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)
3		nfmpt1 5199	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)
4	3	nfel1 2916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)
5	2, 4	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		mzpf 43087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
7	6	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
9		mptfcl 43071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐵 ∈ ℤ))
10	7, 8, 9	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11601	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
13	12	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + -𝐵))
14		mzpf 43087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
16		mptfcl 43071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐴 ∈ ℤ))
17	15, 8, 16	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12609	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 11510	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	5, 20	mpteq2da 5192	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22		elfvex 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
23		neg1z 12539	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
24		mzpconstmpt 43091	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
25	22, 23, 24	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
26		mzpmulmpt 43093	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
27	25, 26	mpancom 689	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
28		mzpaddmpt 43092	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
29	27, 28	sylan2 594	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
30	21, 29	eqeltrd 2837	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377  ℤcz 12500  mzPolycmzp 43073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-mzpcl 43074  df-mzp 43075

This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  43095  eqrabdioph  43128  lerabdioph  43156  ltrabdioph  43159  rmydioph  43365  rmxdioph  43367  expdiophlem2  43373