Theorem mzpsubmpt 43515

Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpsubmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpsubmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5215	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2	1	nfel1 2944	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)
3		nfmpt1 5215	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)
4	3	nfel1 2944	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)
5	2, 4	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		mzpf 43508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
9		mptfcl 43492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐵 ∈ ℤ))
10	7, 8, 9	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11684	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
13	12	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + -𝐵))
14		mzpf 43508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
16		mptfcl 43492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → 𝐴 ∈ ℤ))
17	15, 8, 16	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12719	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 11593	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	5, 20	mpteq2da 5208	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22		elfvex 6923	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
23		neg1z 12648	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
24		mzpconstmpt 43512	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
26		mzpmulmpt 43514	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
27	25, 26	mpancom 701	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
28		mzpaddmpt 43513	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
29	27, 28	sylan2 605	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
30	21, 29	eqeltrd 2866	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460  ℤcz 12609  mzPolycmzp 43494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-mzpcl 43495  df-mzp 43496

This theorem is used by:  mzpnegmpt  43516  eqrabdioph  43549  lerabdioph  43573  ltrabdioph  43576  rmydioph  43782  rmxdioph  43784  expdiophlem2  43790