Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpsubmpt 41481
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5257 . . . . 5 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
21nfel1 2920 . . . 4 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)
3 nfmpt1 5257 . . . . 5 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡)
43nfel1 2920 . . . 4 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)
52, 4nfan 1903 . . 3 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
6 mzpf 41474 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
9 mptfcl 41458 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ β„€))
107, 8, 9sylc 65 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
1110zcnd 12667 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1211mulm1d 11666 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (-1 Β· 𝐡) = -𝐡)
1312oveq2d 7425 . . . 4 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)) = (𝐴 + -𝐡))
14 mzpf 41474 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
16 mptfcl 41458 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ β„€))
1715, 8, 16sylc 65 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1817zcnd 12667 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918, 11negsubd 11577 . . . 4 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴 + -𝐡) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
2013, 19eqtr2d 2774 . . 3 ((((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
215, 20mpteq2da 5247 . 2 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))))
22 elfvex 6930 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
23 neg1z 12598 . . . . 5 -1 ∈ β„€
24 mzpconstmpt 41478 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
2522, 23, 24sylancl 587 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
26 mzpmulmpt 41480 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (-1 Β· 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
2725, 26mpancom 687 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (-1 Β· 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
28 mzpaddmpt 41479 . . 3 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (-1 Β· 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
2927, 28sylan2 594 . 2 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3021, 29eqeltrd 2834 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„€cz 12558  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  41482  eqrabdioph  41515  lerabdioph  41543  ltrabdioph  41546  rmydioph  41753  rmxdioph  41755  expdiophlem2  41761
  Copyright terms: Public domain W3C validator