Theorem mzpsubmpt 38266

Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpsubmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpsubmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 4982	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴)
2	1	nfel1 2948	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)
3		nfmpt1 4982	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵)
4	3	nfel1 2948	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)
5	2, 4	nfan 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		mzpf 38259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
7	6	ad2antlr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
8		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
9		mptfcl 38243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → 𝐵 ∈ ℤ))
10	7, 8, 9	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 11835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 10827	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
13	12	oveq2d 6938	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + -𝐵))
14		mzpf 38259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
15	14	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
16		mptfcl 38243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → 𝐴 ∈ ℤ))
17	15, 8, 16	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 11835	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 11	negsubd 10740	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr2d 2815	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	5, 20	mpteq2da 4978	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22		elfvex 6480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
23		neg1z 11765	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
24		mzpconstmpt 38263	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
25	22, 23, 24	sylancl 580	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
26		mzpmulmpt 38265	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -1) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
27	25, 26	mpancom 678	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
28		mzpaddmpt 38264	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
29	27, 28	sylan2 586	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
30	21, 29	eqeltrd 2859	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606  -cneg 10607  ℤcz 11728  mzPolycmzp 38245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-mzpcl 38246  df-mzp 38247

This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  38267  eqrabdioph  38301  lerabdioph  38329  ltrabdioph  38332  rmydioph  38540  rmxdioph  38542  expdiophlem2  38548