Theorem fmpt 6905

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2	1	fnmpt 6496	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1	rnmpt 5809	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶}
4		r19.29 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶))
5		eleq1 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	5	biimparc 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	rexlimivw 3191	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	ex 416	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	abssdv 3968	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
11	3, 10	eqsstrid 3935	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
12		df-f 6362	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
13	2, 11, 12	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14		fimacnv 6545	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
15	1	mptpreima 6081	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵}
16	14, 15	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵})
17		rabid2 3283	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
19	13, 18	impbii 212	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  {crab 3055   ⊆ wss 3853   ↦ cmpt 5120  ^◡ccnv 5535  ran crn 5537   “ cima 5539   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362

This theorem is referenced by:  f1ompt  6906  fmpti  6907  fvmptelrn  6908  fmptd  6909  fmptdf  6912  rnmptss  6917  f1oresrab  6920  idref  6939  f1mpt  7051  f1stres  7763  f2ndres  7764  fmpox  7815  fmpoco  7841  onoviun  8058  onnseq  8059  mptelixpg  8594  dom2lem  8646  iinfi  9011  cantnfrescl  9269  acni2  9625  acnlem  9627  dfac4  9701  dfacacn  9720  fin23lem28  9919  axdc2lem  10027  axcclem  10036  ac6num  10058  uzf  12406  ccatalpha  14115  repsf  14303  rlim2  15022  rlimi  15039  o1fsum  15340  ackbijnn  15355  pcmptcl  16407  vdwlem11  16507  ismon2  17193  isepi2  17200  yonedalem3b  17741  smndex1gbas  18283  efgsf  19073  gsummhm2  19278  gsummptcl  19306  gsummptfif1o  19307  gsummptfzcl  19308  gsumcom2  19314  gsummptnn0fz  19325  issrngd  19851  ipcl  20549  subrgasclcl  20979  evl1sca  21204  mavmulcl  21398  m2detleiblem3  21480  m2detleiblem4  21481  iinopn  21753  ordtrest2  22055  iscnp2  22090  discmp  22249  2ndcdisj  22307  ptunimpt  22446  pttopon  22447  ptcnplem  22472  upxp  22474  txdis1cn  22486  cnmpt11  22514  cnmpt21  22522  cnmptkp  22531  cnmptk1  22532  cnmpt1k  22533  cnmptkk  22534  cnmptk1p  22536  qtopeu  22567  uzrest  22748  txflf  22857  clsnsg  22961  tgpconncomp  22964  tsmsf1o  22996  prdsmet  23222  fsumcn  23721  cncfmpt1f  23765  iccpnfcnv  23795  lebnumlem1  23812  copco  23869  pcoass  23875  bcth3  24182  voliun  24405  i1f1lem  24540  iblcnlem  24640  limcvallem  24722  ellimc2  24728  cnmptlimc  24741  dvle  24858  dvfsumle  24872  dvfsumge  24873  dvfsumabs  24874  dvfsumlem2  24878  itgsubstlem  24899  sincn  25290  coscn  25291  rlimcxp  25810  harmonicbnd  25840  harmonicbnd2  25841  lgamgulmlem6  25870  sqff1o  26018  lgseisenlem3  26212  fmptdF  30667  ordtrest2NEW  31541  ddemeas  31870  eulerpartgbij  32005  0rrv  32084  reprpmtf1o  32272  subfacf  32804  tailf  34250  fdc  35589  heiborlem5  35659  3factsumint  39716  dvle2  39762  elrfirn2  40162  mptfcl  40186  mzpexpmpt  40211  mzpsubst  40214  rabdiophlem1  40267  rabdiophlem2  40268  pw2f1ocnv  40503  refsumcn  42187  fompt  42344  fmptf  42396  fprodcnlem  42758  dvsinax  43072  itgsubsticclem  43134  fargshiftf  44508  isomuspgrlem2b  44897