Theorem fmpt 7113

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2	1	fnmpt 6682	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1	rnmpt 5939	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶}
4		r19.29 3125	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶))
5		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	5	biimparc 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	rexlimivw 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	abssdv 3991	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
11	3, 10	eqsstrid 3947	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
12		df-f 6545	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
13	2, 11, 12	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14		fimacnv 6735	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
15	1	mptpreima 6241	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵}
16	14, 15	eqtr3di 2810	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵})
17		rabid2 3444	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
19	13, 18	impbii 212	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545

This theorem is used by:  f1ompt  7114  fmpti  7115  fvmptelcdm  7116  fmptd  7117  fmptdf  7120  fompt  7121  rnmptss  7126  f1oresrab  7131  idref  7152  f1mpt  7267  f1stres  8027  f2ndres  8028  fmpox  8080  fmpoco  8109  onoviun  8356  onnseq  8357  mptelixpg  8968  dom2lem  9024  iinfi  9414  cantnfrescl  9682  acni2  10130  acnlem  10132  dfac4  10206  dfacacn  10225  fin23lem28  10423  axdc2lem  10531  axcclem  10540  ac6num  10562  uzf  12973  ccatalpha  14745  repsf  14930  rlim2  15670  rlimi  15687  o1fsum  15987  ackbijnn  16004  pcmptcl  17076  vdwlem11  17176  ismon2  17916  isepi2  17923  yonedalem3b  18460  smndex1gbasOLD  19106  efgsf  19950  gsummhm2  20160  gsummptcl  20188  gsummptfif1o  20189  gsummptfzcl  20190  gsumcom2  20196  gsummptnn0fz  20207  issrngd  21119  ipcl  21946  subrgasclcl  22383  evl1sca  22659  mavmulcl  22869  m2detleiblem3  22951  m2detleiblem4  22952  iinopn  23227  ordtrest2  23529  iscnp2  23564  discmp  23723  2ndcdisj  23782  ptunimpt  23921  pttopon  23922  ptcnplem  23947  upxp  23949  txdis1cn  23961  cnmpt11  23989  cnmpt21  23997  cnmptkp  24006  cnmptk1  24007  cnmpt1k  24008  cnmptkk  24009  cnmptk1p  24011  qtopeu  24042  uzrest  24223  txflf  24332  clsnsg  24436  tgpconncomp  24439  tsmsf1o  24471  prdsmet  24696  fsumcn  25198  cncfmpt1f  25242  iccpnfcnv  25272  lebnumlem1  25289  copco  25346  pcoass  25352  bcth3  25659  voliun  25882  i1f1lem  26017  iblcnlem  26116  limcvallem  26198  ellimc2  26204  cnmptlimc  26217  dvle  26334  dvfsumle  26348  dvfsumge  26349  dvfsumabs  26350  dvfsumlem2  26354  itgsubstlem  26375  sincn  26778  coscn  26779  rlimcxp  27308  harmonicbnd  27338  harmonicbnd2  27339  lgamgulmlem6  27368  sqff1o  27516  lgseisenlem3  27711  mptelee  29479  fmptdf2  33299  ordtrest2NEW  34603  ddemeas  34917  eulerpartgbij  35052  0rrv  35131  reprpmtf1o  35303  subfacf  36028  tailf  37257  fdc  38786  heiborlem5  38856  3factsumint  43182  dvle2  43229  fmpocos  43394  elrfirn2  43814  mptfcl  43838  mzpexpmpt  43863  mzpsubst  43866  rabdiophlem1  43915  rabdiophlem2  43916  pw2f1ocnv  44151  refsumcn  46154  fmptf  46358  fmptff  46388  fprodcnlem  46718  dvsinax  47030  itgsubsticclem  47092  fargshiftf  48629