Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmpt 6855
 Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
fmpt (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
21fnmpt 6464 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹 Fn 𝐴)
31rnmpt 5795 . . . 4 ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶}
4 r19.29 3219 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶))
5 eleq1 2880 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝐵𝐶𝐵))
65biimparc 483 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
76rexlimivw 3244 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
98ex 416 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶𝑦𝐵))
109abssdv 3999 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
113, 10eqsstrid 3966 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ran 𝐹𝐵)
12 df-f 6332 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 586 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
141mptpreima 6063 . . . 4 (𝐹𝐵) = {𝑥𝐴𝐶𝐵}
15 fimacnv 6820 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
1614, 15syl5reqr 2851 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵})
17 rabid2 3337 . . 3 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1816, 17sylib 221 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1913, 18impbii 212 1 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cab 2779  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113   ⊆ wss 3884   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522  ran crn 5524   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336 This theorem is referenced by:  f1ompt  6856  fmpti  6857  fvmptelrn  6858  fmptd  6859  fmptdf  6862  rnmptss  6867  f1oresrab  6870  idref  6889  f1mpt  7001  f1stres  7699  f2ndres  7700  fmpox  7751  fmpoco  7777  onoviun  7967  onnseq  7968  mptelixpg  8486  dom2lem  8536  iinfi  8869  cantnfrescl  9127  acni2  9461  acnlem  9463  dfac4  9537  dfacacn  9556  fin23lem28  9755  axdc2lem  9863  axcclem  9872  ac6num  9894  uzf  12238  ccatalpha  13942  repsf  14130  rlim2  14849  rlimi  14866  o1fsum  15164  ackbijnn  15179  pcmptcl  16221  vdwlem11  16321  ismon2  17000  isepi2  17007  yonedalem3b  17525  smndex1gbas  18063  efgsf  18851  gsummhm2  19056  gsummptcl  19084  gsummptfif1o  19085  gsummptfzcl  19086  gsumcom2  19092  gsummptnn0fz  19103  issrngd  19629  ipcl  20326  subrgasclcl  20742  evl1sca  20962  mavmulcl  21156  m2detleiblem3  21238  m2detleiblem4  21239  iinopn  21511  ordtrest2  21813  iscnp2  21848  discmp  22007  2ndcdisj  22065  ptunimpt  22204  pttopon  22205  ptcnplem  22230  upxp  22232  txdis1cn  22244  cnmpt11  22272  cnmpt21  22280  cnmptkp  22289  cnmptk1  22290  cnmpt1k  22291  cnmptkk  22292  cnmptk1p  22294  qtopeu  22325  uzrest  22506  txflf  22615  clsnsg  22719  tgpconncomp  22722  tsmsf1o  22754  prdsmet  22981  fsumcn  23479  cncfmpt1f  23523  iccpnfcnv  23553  lebnumlem1  23570  copco  23627  pcoass  23633  bcth3  23939  voliun  24162  i1f1lem  24297  iblcnlem  24396  limcvallem  24478  ellimc2  24484  cnmptlimc  24497  dvle  24614  dvfsumle  24628  dvfsumge  24629  dvfsumabs  24630  dvfsumlem2  24634  itgsubstlem  24655  sincn  25043  coscn  25044  rlimcxp  25563  harmonicbnd  25593  harmonicbnd2  25594  lgamgulmlem6  25623  sqff1o  25771  lgseisenlem3  25965  fmptdF  30423  ordtrest2NEW  31280  ddemeas  31609  eulerpartgbij  31744  0rrv  31823  reprpmtf1o  32011  subfacf  32536  tailf  33837  fdc  35182  heiborlem5  35252  3factsumint  39312  elrfirn2  39630  mptfcl  39654  mzpexpmpt  39679  mzpsubst  39682  rabdiophlem1  39735  rabdiophlem2  39736  pw2f1ocnv  39971  refsumcn  41652  fompt  41812  fmptf  41868  fprodcnlem  42234  dvsinax  42548  itgsubsticclem  42610  fargshiftf  43950  isomuspgrlem2b  44340
 Copyright terms: Public domain W3C validator