Theorem ndmovcom 7547

Description: Any operation is commutative outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmovcom	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

Proof of Theorem ndmovcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2	1	ndmov 7544	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4	1	ndmov 7544	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbi 330	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
6	2, 5	eqtr4d 2775	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286   × cxp 5623  dom cdm 5625  (class class class)co 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  addcompi  10809  mulcompi  10811  addcompq  10865  addcomnq  10866  mulcompq  10867  mulcomnq  10868  addcompr  10936  mulcompr  10938  addcomsr  11002  mulcomsr  11004  addcomgi  44732