Theorem ndmovcom 7543

Description: Any operation is commutative outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmovcom	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

Proof of Theorem ndmovcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2	1	ndmov 7540	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4	1	ndmov 7540	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbi 330	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
6	2, 5	eqtr4d 2773	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4263   × cxp 5618  dom cdm 5620  (class class class)co 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-dm 5630  df-iota 6443  df-fv 6495  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  addcompi  10806  mulcompi  10808  addcompq  10862  addcomnq  10863  mulcompq  10864  mulcomnq  10865  addcompr  10933  mulcompr  10935  addcomsr  10999  mulcomsr  11001  addcomgi  44870