Theorem ndmovcom 7599

Description: Any operation is commutative outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmovcom	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

Proof of Theorem ndmovcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2	1	ndmov 7596	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4	1	ndmov 7596	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
5	3, 4	sylnbi 333	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵𝐹𝐴) = ∅)
6	2, 5	eqtr4d 2800	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285   × cxp 5658  dom cdm 5660  (class class class)co 7412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415

This theorem is used by:  addcompi  10885  mulcompi  10887  addcompq  10941  addcomnq  10942  mulcompq  10943  mulcomnq  10944  addcompr  11012  mulcompr  11014  addcomsr  11078  mulcomsr  11080  addcomgi  45192