Theorem mulcomsr 11102

Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

Proof of Theorem mulcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11069	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 11089	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 11089	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4		mulcompr 11036	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥)
5		mulcompr 11036	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦)
6	4, 5	oveq12i 7429	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦))
7		mulcompr 11036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥)
8		mulcompr 11036	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦)
9	7, 8	oveq12i 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦))
10		addcompr 11034	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
11	9, 10	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
12	1, 2, 3, 6, 11	ecovcom 8827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
13		dmmulsr 11099	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
14	13	ndmovcom 7605	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
15	12, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  Pcnp 10872   +_P cpp 10874   ·_P cmp 10875   ~_R cer 10877  Rcnr 10878   ·_R cmr 10883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-ni 10885  df-pli 10886  df-mi 10887  df-lti 10888  df-plpq 10921  df-mpq 10922  df-ltpq 10923  df-enq 10924  df-nq 10925  df-erq 10926  df-plq 10927  df-mq 10928  df-1nq 10929  df-rq 10930  df-ltnq 10931  df-np 10994  df-plp 10996  df-mp 10997  df-ltp 10998  df-enr 11068  df-nr 11069  df-mr 11071

This theorem is used by:  sqgt0sr  11119  mulresr  11152  axmulcom  11168  axmulass  11170  axcnre  11177