MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomsr 11126
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsr (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

Proof of Theorem mulcomsr
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11093 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 11113 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 11113 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcompr 11060 . . . 4 (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥)
5 mulcompr 11060 . . . 4 (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦)
64, 5oveq12i 7442 . . 3 ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦))
7 mulcompr 11060 . . . . 5 (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥)
8 mulcompr 11060 . . . . 5 (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦)
97, 8oveq12i 7442 . . . 4 ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦))
10 addcompr 11058 . . . 4 ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
119, 10eqtri 2762 . . 3 ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
121, 2, 3, 6, 11ecovcom 8861 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
13 dmmulsr 11123 . . 3 dom ·R = (R × R)
1413ndmovcom 7619 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
1512, 14pm2.61i 182 1 (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  (class class class)co 7430  Pcnp 10896   +P cpp 10898   ·P cmp 10899   ~R cer 10901  Rcnr 10902   ·R cmr 10907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-ni 10909  df-pli 10910  df-mi 10911  df-lti 10912  df-plpq 10945  df-mpq 10946  df-ltpq 10947  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-plq 10951  df-mq 10952  df-1nq 10953  df-rq 10954  df-ltnq 10955  df-np 11018  df-plp 11020  df-mp 11021  df-ltp 11022  df-enr 11092  df-nr 11093  df-mr 11095
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  11143  mulresr  11176  axmulcom  11192  axmulass  11194  axcnre  11201
  Copyright terms: Public domain W3C validator