Theorem mulcomsr 11177

Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

Proof of Theorem mulcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11144	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 11164	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 11164	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4		mulcompr 11111	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥)
5		mulcompr 11111	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦)
6	4, 5	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦))
7		mulcompr 11111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥)
8		mulcompr 11111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦)
9	7, 8	oveq12i 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦))
10		addcompr 11109	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
11	9, 10	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
12	1, 2, 3, 6, 11	ecovcom 8847	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
13		dmmulsr 11174	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
14	13	ndmovcom 7608	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
15	12, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  Pcnp 10947   +_P cpp 10949   ·_P cmp 10950   ~_R cer 10952  Rcnr 10953   ·_R cmr 10958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-mpq 10997  df-ltpq 10998  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-mq 11003  df-1nq 11004  df-rq 11005  df-ltnq 11006  df-np 11069  df-plp 11071  df-mp 11072  df-ltp 11073  df-enr 11143  df-nr 11144  df-mr 11146

This theorem is used by:  sqgt0sr  11194  mulresr  11227  axmulcom  11243  axmulass  11245  axcnre  11252