MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomsr 10504
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsr (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

Proof of Theorem mulcomsr
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 10471 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 10491 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 10491 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcompr 10438 . . . 4 (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥)
5 mulcompr 10438 . . . 4 (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦)
64, 5oveq12i 7151 . . 3 ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦))
7 mulcompr 10438 . . . . 5 (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥)
8 mulcompr 10438 . . . . 5 (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦)
97, 8oveq12i 7151 . . . 4 ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦))
10 addcompr 10436 . . . 4 ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
119, 10eqtri 2824 . . 3 ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
121, 2, 3, 6, 11ecovcom 8390 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
13 dmmulsr 10501 . . 3 dom ·R = (R × R)
1413ndmovcom 7319 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
1512, 14pm2.61i 185 1 (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  Pcnp 10274   +P cpp 10276   ·P cmp 10277   ~R cer 10279  Rcnr 10280   ·R cmr 10285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-ni 10287  df-pli 10288  df-mi 10289  df-lti 10290  df-plpq 10323  df-mpq 10324  df-ltpq 10325  df-enq 10326  df-nq 10327  df-erq 10328  df-plq 10329  df-mq 10330  df-1nq 10331  df-rq 10332  df-ltnq 10333  df-np 10396  df-plp 10398  df-mp 10399  df-ltp 10400  df-enr 10470  df-nr 10471  df-mr 10473
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10521  mulresr  10554  axmulcom  10570  axmulass  10572  axcnre  10579
  Copyright terms: Public domain W3C validator