Theorem mulcomsr 11175

Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

Proof of Theorem mulcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11142	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 11162	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 11162	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4		mulcompr 11109	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥)
5		mulcompr 11109	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦)
6	4, 5	oveq12i 7433	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦))
7		mulcompr 11109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥)
8		mulcompr 11109	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦)
9	7, 8	oveq12i 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦))
10		addcompr 11107	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
11	9, 10	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))
12	1, 2, 3, 6, 11	ecovcom 8845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
13		dmmulsr 11172	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
14	13	ndmovcom 7609	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
15	12, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  Pcnp 10945   +_P cpp 10947   ·_P cmp 10948   ~_R cer 10950  Rcnr 10951   ·_R cmr 10956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-ni 10958  df-pli 10959  df-mi 10960  df-lti 10961  df-plpq 10994  df-mpq 10995  df-ltpq 10996  df-enq 10997  df-nq 10998  df-erq 10999  df-plq 11000  df-mq 11001  df-1nq 11002  df-rq 11003  df-ltnq 11004  df-np 11067  df-plp 11069  df-mp 11070  df-ltp 11071  df-enr 11141  df-nr 11142  df-mr 11144

This theorem is used by:  sqgt0sr  11192  mulresr  11225  axmulcom  11241  axmulass  11243  axcnre  11250