Theorem addcomnq 10171

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnq	⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcompq 10170	. . . 4 ⊢ (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6502	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3		addpqnq 10158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4		addpqnq 10158	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7		addnqf 10168	. . . 4 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6354	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7151	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 177	1 ⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   × cxp 5405  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   +_pQ cplpq 10068  Qcnq 10072  [Q]cerq 10074   +_Q cplq 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-ni 10092  df-pli 10093  df-mi 10094  df-lti 10095  df-plpq 10128  df-enq 10131  df-nq 10132  df-erq 10133  df-plq 10134  df-1nq 10136

This theorem is referenced by:  ltaddnq  10194  addclprlem2  10237  addclpr  10238  addcompr  10241  distrlem4pr  10246  prlem934  10253  ltexprlem2  10257  ltexprlem6  10261  ltexprlem7  10262  prlem936  10267