Theorem addcomnq 11016

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnq	⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcompq 11015	. . . 4 ⊢ (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6922	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3		addpqnq 11003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4		addpqnq 11003	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7		addnqf 11013	. . . 4 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6757	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7633	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   × cxp 5697  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   +_pQ cplpq 10913  Qcnq 10917  [Q]cerq 10919   +_Q cplq 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-ni 10937  df-pli 10938  df-mi 10939  df-lti 10940  df-plpq 10973  df-enq 10976  df-nq 10977  df-erq 10978  df-plq 10979  df-1nq 10981

This theorem is referenced by:  ltaddnq  11039  addclprlem2  11082  addclpr  11083  addcompr  11086  distrlem4pr  11091  prlem934  11098  ltexprlem2  11102  ltexprlem6  11106  ltexprlem7  11107  prlem936  11112