Theorem addcomnq 10565

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnq	⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcompq 10564	. . . 4 ⊢ (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6720	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3		addpqnq 10552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4		addpqnq 10552	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7		addnqf 10562	. . . 4 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6557	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7395	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 185	1 ⊢ (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   × cxp 5549  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   +_pQ cplpq 10462  Qcnq 10466  [Q]cerq 10468   +_Q cplq 10469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-1nq 10530

This theorem is referenced by:  ltaddnq  10588  addclprlem2  10631  addclpr  10632  addcompr  10635  distrlem4pr  10640  prlem934  10647  ltexprlem2  10651  ltexprlem6  10655  ltexprlem7  10656  prlem936  10661