MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomnq 10945
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomnq (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)

Proof of Theorem addcomnq
StepHypRef Expression
1 addcompq 10944 . . . 4 (𝐴 +pQ 𝐵) = (𝐵 +pQ 𝐴)
21fveq2i 6894 . . 3 ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴))
3 addpqnq 10932 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
4 addpqnq 10932 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
54ancoms 459 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 +pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2798 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
7 addnqf 10942 . . . 4 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6729 . . 3 dom +Q = (Q × Q)
98ndmovcom 7593 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 182 1 (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5674  cfv 6543  (class class class)co 7408   +pQ cplpq 10842  Qcnq 10846  [Q]cerq 10848   +Q cplq 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-1nq 10910
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10968  addclprlem2  11011  addclpr  11012  addcompr  11015  distrlem4pr  11020  prlem934  11027  ltexprlem2  11031  ltexprlem6  11035  ltexprlem7  11036  prlem936  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator