MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomsr 10498
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcomsr (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Proof of Theorem addcomsr
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 10467 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 10486 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3 addsrpr 10486 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4 addcompr 10432 . . 3 (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥)
5 addcompr 10432 . . 3 (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦)
61, 2, 3, 4, 5ecovcom 8393 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
7 dmaddsr 10496 . . 3 dom +R = (R × R)
87ndmovcom 7325 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
96, 8pm2.61i 183 1 (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  Pcnp 10270   +P cpp 10272   ~R cer 10275  Rcnr 10276   +R cplr 10280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-plp 10394  df-ltp 10396  df-enr 10466  df-nr 10467  df-plr 10468
This theorem is referenced by:  pn0sr  10512  sqgt0sr  10517  map2psrpr  10521  axmulcom  10566  axmulass  10568  axdistr  10569  axi2m1  10570  axcnre  10575
  Copyright terms: Public domain W3C validator