Theorem addcomsr 11172

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsr	⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Proof of Theorem addcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11141	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 11160	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 11160	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4		addcompr 11106	. . 3 ⊢ (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥)
5		addcompr 11106	. . 3 ⊢ (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦)
6	1, 2, 3, 4, 5	ecovcom 8844	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
7		dmaddsr 11170	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
8	7	ndmovcom 7608	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
9	6, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  Pcnp 10944   +_P cpp 10946   ~_R cer 10949  Rcnr 10950   +_R cplr 10954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-ni 10957  df-pli 10958  df-mi 10959  df-lti 10960  df-plpq 10993  df-mpq 10994  df-ltpq 10995  df-enq 10996  df-nq 10997  df-erq 10998  df-plq 10999  df-mq 11000  df-1nq 11001  df-rq 11002  df-ltnq 11003  df-np 11066  df-plp 11068  df-ltp 11070  df-enr 11140  df-nr 11141  df-plr 11142

This theorem is used by:  pn0sr  11186  sqgt0sr  11191  map2psrpr  11195  axmulcom  11240  axmulass  11242  axdistr  11243  axi2m1  11244  axcnre  11249