Theorem addcomsr 11102

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsr	⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Proof of Theorem addcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11071	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 11090	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 11090	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4		addcompr 11036	. . 3 ⊢ (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥)
5		addcompr 11036	. . 3 ⊢ (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦)
6	1, 2, 3, 4, 5	ecovcom 8833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
7		dmaddsr 11100	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
8	7	ndmovcom 7602	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
9	6, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  Pcnp 10874   +_P cpp 10876   ~_R cer 10879  Rcnr 10880   +_R cplr 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-ni 10887  df-pli 10888  df-mi 10889  df-lti 10890  df-plpq 10923  df-mpq 10924  df-ltpq 10925  df-enq 10926  df-nq 10927  df-erq 10928  df-plq 10929  df-mq 10930  df-1nq 10931  df-rq 10932  df-ltnq 10933  df-np 10996  df-plp 10998  df-ltp 11000  df-enr 11070  df-nr 11071  df-plr 11072

This theorem is referenced by:  pn0sr  11116  sqgt0sr  11121  map2psrpr  11125  axmulcom  11170  axmulass  11172  axdistr  11173  axi2m1  11174  axcnre  11179