Theorem addcomsr 11010

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsr	⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Proof of Theorem addcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10979	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 10998	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 10998	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4		addcompr 10944	. . 3 ⊢ (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥)
5		addcompr 10944	. . 3 ⊢ (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦)
6	1, 2, 3, 4, 5	ecovcom 8772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
7		dmaddsr 11008	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
8	7	ndmovcom 7555	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
9	6, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  Pcnp 10782   +_P cpp 10784   ~_R cer 10787  Rcnr 10788   +_R cplr 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-ni 10795  df-pli 10796  df-mi 10797  df-lti 10798  df-plpq 10831  df-mpq 10832  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-plq 10837  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-rq 10840  df-ltnq 10841  df-np 10904  df-plp 10906  df-ltp 10908  df-enr 10978  df-nr 10979  df-plr 10980

This theorem is referenced by:  pn0sr  11024  sqgt0sr  11029  map2psrpr  11033  axmulcom  11078  axmulass  11080  axdistr  11081  axi2m1  11082  axcnre  11087