Theorem addcomsr 11047

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsr	⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Proof of Theorem addcomsr

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11016	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 11035	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 11035	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4		addcompr 10981	. . 3 ⊢ (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥)
5		addcompr 10981	. . 3 ⊢ (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦)
6	1, 2, 3, 4, 5	ecovcom 8799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
7		dmaddsr 11045	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
8	7	ndmovcom 7579	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))
9	6, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  Pcnp 10819   +_P cpp 10821   ~_R cer 10824  Rcnr 10825   +_R cplr 10829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-ni 10832  df-pli 10833  df-mi 10834  df-lti 10835  df-plpq 10868  df-mpq 10869  df-ltpq 10870  df-enq 10871  df-nq 10872  df-erq 10873  df-plq 10874  df-mq 10875  df-1nq 10876  df-rq 10877  df-ltnq 10878  df-np 10941  df-plp 10943  df-ltp 10945  df-enr 11015  df-nr 11016  df-plr 11017

This theorem is referenced by:  pn0sr  11061  sqgt0sr  11066  map2psrpr  11070  axmulcom  11115  axmulass  11117  axdistr  11118  axi2m1  11119  axcnre  11124