MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcompq 10947
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompq (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด)

Proof of Theorem addcompq
StepHypRef Expression
1 addcompi 10891 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2 mulcompi 10893 . . . 4 ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
31, 2opeq12i 4873 . . 3 โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ
4 addpipq2 10933 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
5 addpipq2 10933 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
65ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
73, 4, 63eqtr4a 2792 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด))
8 addpqf 10941 . . . 4 +pQ :((N ร— N) ร— (N ร— N))โŸถ(N ร— N)
98fdmi 6723 . . 3 dom +pQ = ((N ร— N) ร— (N ร— N))
109ndmovcom 7591 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด))
117, 10pm2.61i 182 1 (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Ncnpi 10841   +N cpli 10842   ยทN cmi 10843   +pQ cplpq 10845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-plpq 10905
This theorem is referenced by:  addcomnq  10948  adderpq  10953
  Copyright terms: Public domain W3C validator