MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcompq 10983
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 30-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompq (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด)

Proof of Theorem addcompq
StepHypRef Expression
1 addcompi 10927 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2 mulcompi 10929 . . . 4 ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
31, 2opeq12i 4883 . . 3 โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ
4 addpipq2 10969 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
5 addpipq2 10969 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
65ancoms 457 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
73, 4, 63eqtr4a 2794 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด))
8 addpqf 10977 . . . 4 +pQ :((N ร— N) ร— (N ร— N))โŸถ(N ร— N)
98fdmi 6739 . . 3 dom +pQ = ((N ร— N) ร— (N ร— N))
109ndmovcom 7615 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด))
117, 10pm2.61i 182 1 (๐ด +pQ ๐ต) = (๐ต +pQ ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000  Ncnpi 10877   +N cpli 10878   ยทN cmi 10879   +pQ cplpq 10881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-ni 10905  df-pli 10906  df-mi 10907  df-plpq 10941
This theorem is referenced by:  addcomnq  10984  adderpq  10989
  Copyright terms: Public domain W3C validator