![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulcompq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulcompq | โข (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcompi 10839 | . . . 4 โข ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)) = ((1st โ๐ต) ยทN (1st โ๐ด)) | |
2 | mulcompi 10839 | . . . 4 โข ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต)) = ((2nd โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด)) | |
3 | 1, 2 | opeq12i 4840 | . . 3 โข โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ = โจ((1st โ๐ต) ยทN (1st โ๐ด)), ((2nd โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด))โฉ |
4 | mulpipq2 10882 | . . 3 โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โจ((1st โ๐ด) ยทN (1st โ๐ต)), ((2nd โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต))โฉ) | |
5 | mulpipq2 10882 | . . . 4 โข ((๐ต โ (N ร N) โง ๐ด โ (N ร N)) โ (๐ต ยทpQ ๐ด) = โจ((1st โ๐ต) ยทN (1st โ๐ด)), ((2nd โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด))โฉ) | |
6 | 5 | ancoms 460 | . . 3 โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ต ยทpQ ๐ด) = โจ((1st โ๐ต) ยทN (1st โ๐ด)), ((2nd โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด))โฉ) |
7 | 3, 4, 6 | 3eqtr4a 2803 | . 2 โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด)) |
8 | mulpqf 10889 | . . . 4 โข ยทpQ :((N ร N) ร (N ร N))โถ(N ร N) | |
9 | 8 | fdmi 6685 | . . 3 โข dom ยทpQ = ((N ร N) ร (N ร N)) |
10 | 9 | ndmovcom 7546 | . 2 โข (ยฌ (๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด)) |
11 | 7, 10 | pm2.61i 182 | 1 โข (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โจcop 4597 ร cxp 5636 โcfv 6501 (class class class)co 7362 1st c1st 7924 2nd c2nd 7925 Ncnpi 10787 ยทN cmi 10789 ยทpQ cmpq 10792 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 ax-un 7677 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-oadd 8421 df-omul 8422 df-ni 10815 df-mi 10817 df-mpq 10852 |
This theorem is referenced by: mulcomnq 10896 mulerpq 10900 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |