Theorem addcompr 11078

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompr	⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 11067	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2		plpv 11067	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3		addcomnq 11008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
4	3	eqeq2i 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
5	4	2rexbii 3138	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6		rexcom 3291	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
7	5, 6	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
8	7	abbii 2827	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
9	2, 8	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
10	9	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
11	1, 10	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12		dmplp 11069	. . 3 ⊢ dom +P = (P × P)
13	12	ndmovcom 7596	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
14	11, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  (class class class)co 7408   +_Q cplq 10912  Pcnp 10916   +_P cpp 10918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ni 10929  df-pli 10930  df-mi 10931  df-lti 10932  df-plpq 10965  df-enq 10968  df-nq 10969  df-erq 10970  df-plq 10971  df-1nq 10973  df-np 11038  df-plp 11040

This theorem is used by:  enrer  11120  addcmpblnr  11126  mulcmpblnrlem  11127  ltsrpr  11134  addcomsr  11144  mulcomsr  11146  mulasssr  11147  distrsr  11148  ltsosr  11151  0lt1sr  11152  0idsr  11154  1idsr  11155  ltasr  11157  recexsrlem  11160  mulgt0sr  11162  ltpsrpr  11166  map2psrpr  11167