Theorem addcompr 11133

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompr	⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 11122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2		plpv 11122	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3		addcomnq 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
4	3	eqeq2i 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
5	4	2rexbii 3142	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6		rexcom 3295	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
7	5, 6	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
8	7	abbii 2830	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
9	2, 8	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
10	9	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
11	1, 10	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12		dmplp 11124	. . 3 ⊢ dom +P = (P × P)
13	12	ndmovcom 7632	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
14	11, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  (class class class)co 7443   +_Q cplq 10967  Pcnp 10971   +_P cpp 10973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ni 10984  df-pli 10985  df-mi 10986  df-lti 10987  df-plpq 11020  df-enq 11023  df-nq 11024  df-erq 11025  df-plq 11026  df-1nq 11028  df-np 11093  df-plp 11095

This theorem is used by:  enrer  11175  addcmpblnr  11181  mulcmpblnrlem  11182  ltsrpr  11189  addcomsr  11199  mulcomsr  11201  mulasssr  11202  distrsr  11203  ltsosr  11206  0lt1sr  11207  0idsr  11209  1idsr  11210  ltasr  11212  recexsrlem  11215  mulgt0sr  11217  ltpsrpr  11221  map2psrpr  11222