Theorem addcompr 10934

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompr	⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 10923	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2		plpv 10923	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3		addcomnq 10864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
4	3	eqeq2i 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
5	4	2rexbii 3105	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6		rexcom 3258	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
7	5, 6	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
8	7	abbii 2796	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
9	2, 8	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
10	9	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
11	1, 10	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12		dmplp 10925	. . 3 ⊢ dom +P = (P × P)
13	12	ndmovcom 7540	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
14	11, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353   +_Q cplq 10768  Pcnp 10772   +_P cpp 10774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-ni 10785  df-pli 10786  df-mi 10787  df-lti 10788  df-plpq 10821  df-enq 10824  df-nq 10825  df-erq 10826  df-plq 10827  df-1nq 10829  df-np 10894  df-plp 10896

This theorem is referenced by:  enrer  10976  addcmpblnr  10982  mulcmpblnrlem  10983  ltsrpr  10990  addcomsr  11000  mulcomsr  11002  mulasssr  11003  distrsr  11004  ltsosr  11007  0lt1sr  11008  0idsr  11010  1idsr  11011  ltasr  11013  recexsrlem  11016  mulgt0sr  11018  ltpsrpr  11022  map2psrpr  11023