MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcompr 11058
Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompr (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plpv 11047 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2 plpv 11047 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3 addcomnq 10988 . . . . . . . . 9 (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
43eqeq2i 2747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
542rexbii 3126 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6 rexcom 3287 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
75, 6bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
87abbii 2806 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
92, 8eqtrdi 2790 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
109ancoms 458 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
111, 10eqtr4d 2777 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12 dmplp 11049 . . 3 dom +P = (P × P)
1312ndmovcom 7619 . 2 (¬ (𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
1411, 13pm2.61i 182 1 (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wrex 3067  (class class class)co 7430   +Q cplq 10892  Pcnp 10896   +P cpp 10898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-pli 10910  df-mi 10911  df-lti 10912  df-plpq 10945  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-plq 10951  df-1nq 10953  df-np 11018  df-plp 11020
This theorem is referenced by:  enrer  11100  addcmpblnr  11106  mulcmpblnrlem  11107  ltsrpr  11114  addcomsr  11124  mulcomsr  11126  mulasssr  11127  distrsr  11128  ltsosr  11131  0lt1sr  11132  0idsr  11134  1idsr  11135  ltasr  11137  recexsrlem  11140  mulgt0sr  11142  ltpsrpr  11146  map2psrpr  11147
  Copyright terms: Public domain W3C validator