Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompr Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompr (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plpv 10424 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2 plpv 10424 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3 addcomnq 10365 . . . . . . . . 9 (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
43eqeq2i 2811 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
542rexbii 3211 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6 rexcom 3308 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
75, 6bitri 278 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
87abbii 2863 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
92, 8eqtrdi 2849 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
109ancoms 462 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
111, 10eqtr4d 2836 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12 dmplp 10426 . . 3 dom +P = (P × P)
1312ndmovcom 7317 . 2 (¬ (𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
1411, 13pm2.61i 185 1 (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107  (class class class)co 7136   +Q cplq 10269  Pcnp 10273   +P cpp 10275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-ni 10286  df-pli 10287  df-mi 10288  df-lti 10289  df-plpq 10322  df-enq 10325  df-nq 10326  df-erq 10327  df-plq 10328  df-1nq 10330  df-np 10395  df-plp 10397 This theorem is referenced by:  enrer  10477  addcmpblnr  10483  mulcmpblnrlem  10484  ltsrpr  10491  addcomsr  10501  mulcomsr  10503  mulasssr  10504  distrsr  10505  ltsosr  10508  0lt1sr  10509  0idsr  10511  1idsr  10512  ltasr  10514  recexsrlem  10517  mulgt0sr  10519  ltpsrpr  10523  map2psrpr  10524
 Copyright terms: Public domain W3C validator