MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcompr 11022
Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompr (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plpv 11011 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2 plpv 11011 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3 addcomnq 10952 . . . . . . . . 9 (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
43eqeq2i 2744 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
542rexbii 3128 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6 rexcom 3286 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
75, 6bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
87abbii 2801 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
92, 8eqtrdi 2787 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
109ancoms 458 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
111, 10eqtr4d 2774 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12 dmplp 11013 . . 3 dom +P = (P × P)
1312ndmovcom 7598 . 2 (¬ (𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
1411, 13pm2.61i 182 1 (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wrex 3069  (class class class)co 7412   +Q cplq 10856  Pcnp 10860   +P cpp 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-ni 10873  df-pli 10874  df-mi 10875  df-lti 10876  df-plpq 10909  df-enq 10912  df-nq 10913  df-erq 10914  df-plq 10915  df-1nq 10917  df-np 10982  df-plp 10984
This theorem is referenced by:  enrer  11064  addcmpblnr  11070  mulcmpblnrlem  11071  ltsrpr  11078  addcomsr  11088  mulcomsr  11090  mulasssr  11091  distrsr  11092  ltsosr  11095  0lt1sr  11096  0idsr  11098  1idsr  11099  ltasr  11101  recexsrlem  11104  mulgt0sr  11106  ltpsrpr  11110  map2psrpr  11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator