MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcompr 10096
Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompr (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)

Proof of Theorem addcompr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plpv 10085 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
2 plpv 10085 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
3 addcomnq 10026 . . . . . . . . 9 (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑧 +Q 𝑦)
43eqeq2i 2777 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
542rexbii 3189 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
6 rexcom 3246 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
75, 6bitri 266 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦))
87abbii 2882 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)}
92, 8syl6eq 2815 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
109ancoms 450 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 +P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 +Q 𝑦)})
111, 10eqtr4d 2802 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
12 dmplp 10087 . . 3 dom +P = (P × P)
1312ndmovcom 7019 . 2 (¬ (𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
1411, 13pm2.61i 176 1 (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wrex 3056  (class class class)co 6842   +Q cplq 9930  Pcnp 9934   +P cpp 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ni 9947  df-pli 9948  df-mi 9949  df-lti 9950  df-plpq 9983  df-enq 9986  df-nq 9987  df-erq 9988  df-plq 9989  df-1nq 9991  df-np 10056  df-plp 10058
This theorem is referenced by:  enrer  10139  addcmpblnr  10143  mulcmpblnrlem  10144  ltsrpr  10151  addcomsr  10161  mulcomsr  10163  mulasssr  10164  distrsr  10165  ltsosr  10168  0lt1sr  10169  0idsr  10171  1idsr  10172  ltasr  10174  recexsrlem  10177  mulgt0sr  10179  ltpsrpr  10183  map2psrpr  10184
  Copyright terms: Public domain W3C validator