MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnq 10991
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq
StepHypRef Expression
1 mulcompq 10990 . . . 4 (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
21fveq2i 6910 . . 3 ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3 mulpqnq 10979 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4 mulpqnq 10979 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
54ancoms 458 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2801 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7 mulnqf 10987 . . . 4 ·Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6748 . . 3 dom ·Q = (Q × Q)
98ndmovcom 7620 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 182 1 (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431   ·pQ cmpq 10887  Qcnq 10890  [Q]cerq 10892   ·Q cmq 10894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-mi 10912  df-lti 10913  df-mpq 10947  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-mq 10953  df-1nq 10954
This theorem is referenced by:  recmulnq  11002  recrecnq  11005  halfnq  11014  ltrnq  11017  addclprlem1  11054  addclprlem2  11055  mulclprlem  11057  mulclpr  11058  mulcompr  11061  distrlem4pr  11064  1idpr  11067  prlem934  11071  prlem936  11085  reclem3pr  11087  reclem4pr  11088
  Copyright terms: Public domain W3C validator