MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnq 10986
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด)

Proof of Theorem mulcomnq
StepHypRef Expression
1 mulcompq 10985 . . . 4 (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด)
21fveq2i 6905 . . 3 ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด))
3 mulpqnq 10974 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
4 mulpqnq 10974 . . . 4 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ต ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด)))
54ancoms 457 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด)))
62, 3, 53eqtr4a 2794 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด))
7 mulnqf 10982 . . . 4 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
87fdmi 6739 . . 3 dom ยทQ = (Q ร— Q)
98ndmovcom 7615 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด))
106, 9pm2.61i 182 1 (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ยทpQ cmpq 10882  Qcnq 10885  [Q]cerq 10887   ยทQ cmq 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ni 10905  df-mi 10907  df-lti 10908  df-mpq 10942  df-enq 10944  df-nq 10945  df-erq 10946  df-mq 10948  df-1nq 10949
This theorem is referenced by:  recmulnq  10997  recrecnq  11000  halfnq  11009  ltrnq  11012  addclprlem1  11049  addclprlem2  11050  mulclprlem  11052  mulclpr  11053  mulcompr  11056  distrlem4pr  11059  1idpr  11062  prlem934  11066  prlem936  11080  reclem3pr  11082  reclem4pr  11083
  Copyright terms: Public domain W3C validator