Theorem mulcomnq 10850

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq	⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcompq 10849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6831	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3		mulpqnq 10838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4		mulpqnq 10838	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7		mulnqf 10846	. . . 4 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6668	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7539	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5617  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ·_pQ cmpq 10746  Qcnq 10749  [Q]cerq 10751   ·_Q cmq 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ni 10769  df-mi 10771  df-lti 10772  df-mpq 10806  df-enq 10808  df-nq 10809  df-erq 10810  df-mq 10812  df-1nq 10813

This theorem is referenced by:  recmulnq  10861  recrecnq  10864  halfnq  10873  ltrnq  10876  addclprlem1  10913  addclprlem2  10914  mulclprlem  10916  mulclpr  10917  mulcompr  10920  distrlem4pr  10923  1idpr  10926  prlem934  10930  prlem936  10944  reclem3pr  10946  reclem4pr  10947