MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnq 10885
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq
StepHypRef Expression
1 mulcompq 10884 . . . 4 (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
21fveq2i 6842 . . 3 ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3 mulpqnq 10873 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4 mulpqnq 10873 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
54ancoms 459 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2802 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7 mulnqf 10881 . . . 4 ·Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6677 . . 3 dom ·Q = (Q × Q)
98ndmovcom 7537 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 182 1 (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5629  cfv 6493  (class class class)co 7353   ·pQ cmpq 10781  Qcnq 10784  [Q]cerq 10786   ·Q cmq 10788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-ni 10804  df-mi 10806  df-lti 10807  df-mpq 10841  df-enq 10843  df-nq 10844  df-erq 10845  df-mq 10847  df-1nq 10848
This theorem is referenced by:  recmulnq  10896  recrecnq  10899  halfnq  10908  ltrnq  10911  addclprlem1  10948  addclprlem2  10949  mulclprlem  10951  mulclpr  10952  mulcompr  10955  distrlem4pr  10958  1idpr  10961  prlem934  10965  prlem936  10979  reclem3pr  10981  reclem4pr  10982
  Copyright terms: Public domain W3C validator