Theorem mulcomnq 10937

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq	⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcompq 10936	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3		mulpqnq 10925	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4		mulpqnq 10925	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7		mulnqf 10933	. . . 4 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6717	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7597	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ·_pQ cmpq 10833  Qcnq 10836  [Q]cerq 10838   ·_Q cmq 10840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ni 10856  df-mi 10858  df-lti 10859  df-mpq 10893  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-mq 10899  df-1nq 10900

This theorem is referenced by:  recmulnq  10948  recrecnq  10951  halfnq  10960  ltrnq  10963  addclprlem1  11000  addclprlem2  11001  mulclprlem  11003  mulclpr  11004  mulcompr  11007  distrlem4pr  11010  1idpr  11013  prlem934  11017  prlem936  11031  reclem3pr  11033  reclem4pr  11034