MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnq 10950
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด)

Proof of Theorem mulcomnq
StepHypRef Expression
1 mulcompq 10949 . . . 4 (๐ด ยทpQ ๐ต) = (๐ต ยทpQ ๐ด)
21fveq2i 6888 . . 3 ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด))
3 mulpqnq 10938 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
4 mulpqnq 10938 . . . 4 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ต ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด)))
54ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ต ยทpQ ๐ด)))
62, 3, 53eqtr4a 2792 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด))
7 mulnqf 10946 . . . 4 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
87fdmi 6723 . . 3 dom ยทQ = (Q ร— Q)
98ndmovcom 7591 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด))
106, 9pm2.61i 182 1 (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ยทpQ cmpq 10846  Qcnq 10849  [Q]cerq 10851   ยทQ cmq 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ni 10869  df-mi 10871  df-lti 10872  df-mpq 10906  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-mq 10912  df-1nq 10913
This theorem is referenced by:  recmulnq  10961  recrecnq  10964  halfnq  10973  ltrnq  10976  addclprlem1  11013  addclprlem2  11014  mulclprlem  11016  mulclpr  11017  mulcompr  11020  distrlem4pr  11023  1idpr  11026  prlem934  11030  prlem936  11044  reclem3pr  11046  reclem4pr  11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator