MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcomnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnq 10993
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq
StepHypRef Expression
1 mulcompq 10992 . . . 4 (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
21fveq2i 6909 . . 3 ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3 mulpqnq 10981 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4 mulpqnq 10981 . . . 4 ((𝐵Q𝐴Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
54ancoms 458 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
62, 3, 53eqtr4a 2803 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7 mulnqf 10989 . . . 4 ·Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6747 . . 3 dom ·Q = (Q × Q)
98ndmovcom 7620 . 2 (¬ (𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
106, 9pm2.61i 182 1 (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431   ·pQ cmpq 10889  Qcnq 10892  [Q]cerq 10894   ·Q cmq 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-mpq 10949  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-mq 10955  df-1nq 10956
This theorem is referenced by:  recmulnq  11004  recrecnq  11007  halfnq  11016  ltrnq  11019  addclprlem1  11056  addclprlem2  11057  mulclprlem  11059  mulclpr  11060  mulcompr  11063  distrlem4pr  11066  1idpr  11069  prlem934  11073  prlem936  11087  reclem3pr  11089  reclem4pr  11090
  Copyright terms: Public domain W3C validator