Theorem mulcomnq 10110

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq	⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcompq 10109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6449	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3		mulpqnq 10098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4		mulpqnq 10098	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7		mulnqf 10106	. . . 4 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6301	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7098	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 177	1 ⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   × cxp 5353  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ·_pQ cmpq 10006  Qcnq 10009  [Q]cerq 10011   ·_Q cmq 10013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ni 10029  df-mi 10031  df-lti 10032  df-mpq 10066  df-enq 10068  df-nq 10069  df-erq 10070  df-mq 10072  df-1nq 10073

This theorem is referenced by:  recmulnq  10121  recrecnq  10124  halfnq  10133  ltrnq  10136  addclprlem1  10173  addclprlem2  10174  mulclprlem  10176  mulclpr  10177  mulcompr  10180  distrlem4pr  10183  1idpr  10186  prlem934  10190  prlem936  10204  reclem3pr  10206  reclem4pr  10207