MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcompr 11020
Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompr (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด)

Proof of Theorem mulcompr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpv 11008 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
2 mpv 11008 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
3 mulcomnq 10950 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
43eqeq2i 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
542rexbii 3123 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
6 rexcom 3281 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
75, 6bitri 275 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
87abbii 2796 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)} = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}
92, 8eqtrdi 2782 . . . 4 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
109ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
111, 10eqtr4d 2769 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))
12 dmmp 11010 . . 3 dom ยทP = (P ร— P)
1312ndmovcom 7591 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))
1411, 13pm2.61i 182 1 (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7405   ยทQ cmq 10853  Pcnp 10856   ยทP cmp 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ni 10869  df-mi 10871  df-lti 10872  df-mpq 10906  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-np 10978  df-mp 10981
This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem  11067  mulcomsr  11086  mulasssr  11087  m1m1sr  11090  recexsrlem  11100  mulgt0sr  11102
  Copyright terms: Public domain W3C validator