Theorem mulcompr 10946

Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompr	⊢ (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴)

Proof of Theorem mulcompr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpv 10934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
2		mpv 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
3		mulcomnq 10876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
4	3	eqeq2i 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
5	4	2rexbii 3113	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
6		rexcom 3266	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
7	5, 6	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
8	7	abbii 2803	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)}
9	2, 8	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
10	9	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
11	1, 10	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴))
12		dmmp 10936	. . 3 ⊢ dom ·P = (P × P)
13	12	ndmovcom 7554	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴))
14	11, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∃wrex 3061  (class class class)co 7367   ·_Q cmq 10779  Pcnp 10782   ·_P cmp 10785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ni 10795  df-mi 10797  df-lti 10798  df-mpq 10832  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-np 10904  df-mp 10907

This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem  10993  mulcomsr  11012  mulasssr  11013  m1m1sr  11016  recexsrlem  11026  mulgt0sr  11028