MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcompr 11060
Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompr (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴)

Proof of Theorem mulcompr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpv 11048 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
2 mpv 11048 . . . . 5 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
3 mulcomnq 10990 . . . . . . . . 9 (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
43eqeq2i 2747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
542rexbii 3126 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
6 rexcom 3287 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
75, 6bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦))
87abbii 2806 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)} = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)}
92, 8eqtrdi 2790 . . . 4 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
109ancoms 458 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 ·P 𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝐴𝑦𝐵 𝑥 = (𝑧 ·Q 𝑦)})
111, 10eqtr4d 2777 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴))
12 dmmp 11050 . . 3 dom ·P = (P × P)
1312ndmovcom 7619 . 2 (¬ (𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴))
1411, 13pm2.61i 182 1 (𝐴 ·P 𝐵) = (𝐵 ·P 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wrex 3067  (class class class)co 7430   ·Q cmq 10893  Pcnp 10896   ·P cmp 10899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-mi 10911  df-lti 10912  df-mpq 10946  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-mq 10952  df-1nq 10953  df-np 11018  df-mp 11021
This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem  11107  mulcomsr  11126  mulasssr  11127  m1m1sr  11130  recexsrlem  11140  mulgt0sr  11142
  Copyright terms: Public domain W3C validator