MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcompr 11056
Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompr (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด)

Proof of Theorem mulcompr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpv 11044 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
2 mpv 11044 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)})
3 mulcomnq 10986 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
43eqeq2i 2741 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
542rexbii 3126 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
6 rexcom 3285 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
75, 6bitri 274 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
87abbii 2798 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง)} = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)}
92, 8eqtrdi 2784 . . . 4 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
109ancoms 457 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)})
111, 10eqtr4d 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))
12 dmmp 11046 . . 3 dom ยทP = (P ร— P)
1312ndmovcom 7615 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด))
1411, 13pm2.61i 182 1 (๐ด ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2705  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7426   ยทQ cmq 10889  Pcnp 10892   ยทP cmp 10895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ni 10905  df-mi 10907  df-lti 10908  df-mpq 10942  df-enq 10944  df-nq 10945  df-erq 10946  df-mq 10948  df-1nq 10949  df-np 11014  df-mp 11017
This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem  11103  mulcomsr  11122  mulasssr  11123  m1m1sr  11126  recexsrlem  11136  mulgt0sr  11138
  Copyright terms: Public domain W3C validator