Theorem ndmov 7552

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7551	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287   × cxp 5630  dom cdm 5632  (class class class)co 7368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7553  ndmovrcl  7554  ndmovcom  7555  ndmovass  7556  ndmovdistr  7557  om0x  8456  oaabs2  8587  omabs  8589  eceqoveq  8771  elpmi  8795  elmapex  8797  pmresg  8820  pmsspw  8827  addnidpi  10824  adderpq  10879  mulerpq  10880  elixx3g  13286  ndmioo  13300  elfz2  13442  fz0  13467  elfzoel1  13585  elfzoel2  13586  fzoval  13588  fzofi  13909  restsspw  17363  fucbas  17899  fuchom  17900  xpcbas  18113  xpchomfval  18114  xpccofval  18117  restrcl  23113  ssrest  23132  resstopn  23142  iocpnfordt  23171  icomnfordt  23172  nghmfval  24678  isnghm  24679  topnfbey  30556  cvmtop1  35476  cvmtop2  35477  ndmico  45924