Theorem ndmov 7605

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7604	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   × cxp 5649  dom cdm 5651  (class class class)co 7420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  ndmovcl  7606  ndmovrcl  7607  ndmovcom  7608  ndmovass  7609  ndmovdistr  7610  om0x  8527  oaabs2  8658  omabs  8660  eceqoveq  8843  elpmi  8866  elmapex  8868  pmresg  8898  pmsspw  8905  addnidpi  10986  adderpq  11041  mulerpq  11042  elixx3g  13489  ndmioo  13503  elfz2  13646  fz0  13672  elfzoel1  13791  elfzoel2  13792  fzoval  13794  fzofi  14117  restsspw  17602  fucbas  18138  fuchom  18139  xpcbas  18352  xpchomfval  18353  xpccofval  18356  restrcl  23475  ssrest  23494  resstopn  23504  iocpnfordt  23533  icomnfordt  23534  nghmfval  25041  isnghm  25042  topnfbey  31070  cvmtop1  36025  cvmtop2  36026  ndmico  46575