Theorem ndmov 7617

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7616	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333   × cxp 5683  dom cdm 5685  (class class class)co 7431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7618  ndmovrcl  7619  ndmovcom  7620  ndmovass  7621  ndmovdistr  7622  om0x  8557  oaabs2  8687  omabs  8689  eceqoveq  8862  elpmi  8886  elmapex  8888  pmresg  8910  pmsspw  8917  addnidpi  10941  adderpq  10996  mulerpq  10997  elixx3g  13400  ndmioo  13414  elfz2  13554  fz0  13579  elfzoel1  13697  elfzoel2  13698  fzoval  13700  fzofi  14015  restsspw  17476  fucbas  18008  fuchom  18009  xpcbas  18223  xpchomfval  18224  xpccofval  18227  restrcl  23165  ssrest  23184  resstopn  23194  iocpnfordt  23223  icomnfordt  23224  nghmfval  24743  isnghm  24744  topnfbey  30488  cvmtop1  35265  cvmtop2  35266  ndmico  45579