Theorem ndmov 7540

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7539	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 696	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261   × cxp 5616  dom cdm 5618  (class class class)co 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7541  ndmovrcl  7542  ndmovcom  7543  ndmovass  7544  ndmovdistr  7545  om0x  8444  oaabs2  8575  omabs  8577  eceqoveq  8759  elpmi  8783  elmapex  8785  pmresg  8808  pmsspw  8815  addnidpi  10815  adderpq  10870  mulerpq  10871  elixx3g  13302  ndmioo  13316  elfz2  13459  fz0  13484  elfzoel1  13602  elfzoel2  13603  fzoval  13605  fzofi  13927  restsspw  17385  fucbas  17921  fuchom  17922  xpcbas  18135  xpchomfval  18136  xpccofval  18139  restrcl  23140  ssrest  23159  resstopn  23169  iocpnfordt  23198  icomnfordt  23199  nghmfval  24705  isnghm  24706  topnfbey  30557  cvmtop1  35488  cvmtop2  35489  ndmico  46009