Theorem ndmov 7576

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7575	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299   × cxp 5639  dom cdm 5641  (class class class)co 7390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7577  ndmovrcl  7578  ndmovcom  7579  ndmovass  7580  ndmovdistr  7581  om0x  8486  oaabs2  8616  omabs  8618  eceqoveq  8798  elpmi  8822  elmapex  8824  pmresg  8846  pmsspw  8853  addnidpi  10861  adderpq  10916  mulerpq  10917  elixx3g  13326  ndmioo  13340  elfz2  13482  fz0  13507  elfzoel1  13625  elfzoel2  13626  fzoval  13628  fzofi  13946  restsspw  17401  fucbas  17932  fuchom  17933  xpcbas  18146  xpchomfval  18147  xpccofval  18150  restrcl  23051  ssrest  23070  resstopn  23080  iocpnfordt  23109  icomnfordt  23110  nghmfval  24617  isnghm  24618  topnfbey  30405  cvmtop1  35254  cvmtop2  35255  ndmico  45569