Theorem ndmov 7609

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7608	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4277   × cxp 5649  dom cdm 5651  (class class class)co 7424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  ndmovcl  7610  ndmovrcl  7611  ndmovcom  7612  ndmovass  7613  ndmovdistr  7614  om0x  8535  oaabs2  8666  omabs  8668  eceqoveq  8851  elpmi  8874  elmapex  8876  pmresg  8906  pmsspw  8913  addnidpi  10993  adderpq  11048  mulerpq  11049  elixx3g  13496  ndmioo  13510  elfz2  13653  fz0  13679  elfzoel1  13798  elfzoel2  13799  fzoval  13801  fzofi  14124  restsspw  17611  fucbas  18147  fuchom  18148  xpcbas  18361  xpchomfval  18362  xpccofval  18365  restrcl  23484  ssrest  23503  resstopn  23513  iocpnfordt  23542  icomnfordt  23543  nghmfval  25050  isnghm  25051  topnfbey  31079  cvmtop1  36143  cvmtop2  36144  ndmico  46712