Theorem ndmov 7542

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7541	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285   × cxp 5622  dom cdm 5624  (class class class)co 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7543  ndmovrcl  7544  ndmovcom  7545  ndmovass  7546  ndmovdistr  7547  om0x  8446  oaabs2  8577  omabs  8579  eceqoveq  8759  elpmi  8783  elmapex  8785  pmresg  8808  pmsspw  8815  addnidpi  10812  adderpq  10867  mulerpq  10868  elixx3g  13274  ndmioo  13288  elfz2  13430  fz0  13455  elfzoel1  13573  elfzoel2  13574  fzoval  13576  fzofi  13897  restsspw  17351  fucbas  17887  fuchom  17888  xpcbas  18101  xpchomfval  18102  xpccofval  18105  restrcl  23101  ssrest  23120  resstopn  23130  iocpnfordt  23159  icomnfordt  23160  nghmfval  24666  isnghm  24667  topnfbey  30544  cvmtop1  35454  cvmtop2  35455  ndmico  45820