Theorem ndmov 7591

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7590	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323   × cxp 5675  dom cdm 5677  (class class class)co 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7592  ndmovrcl  7593  ndmovcom  7594  ndmovass  7595  ndmovdistr  7596  om0x  8519  oaabs2  8648  omabs  8650  eceqoveq  8816  elpmi  8840  elmapex  8842  pmresg  8864  pmsspw  8871  addnidpi  10896  adderpq  10951  mulerpq  10952  elixx3g  13337  ndmioo  13351  elfz2  13491  fz0  13516  elfzoel1  13630  elfzoel2  13631  fzoval  13633  fzofi  13939  restsspw  17377  fucbas  17912  fuchom  17913  fuchomOLD  17914  xpcbas  18130  xpchomfval  18131  xpccofval  18134  restrcl  22661  ssrest  22680  resstopn  22690  iocpnfordt  22719  icomnfordt  22720  nghmfval  24239  isnghm  24240  topnfbey  29722  cvmtop1  34251  cvmtop2  34252  ndmico  44279