Theorem ndmov 7530

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7529	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280   × cxp 5612  dom cdm 5614  (class class class)co 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7531  ndmovrcl  7532  ndmovcom  7533  ndmovass  7534  ndmovdistr  7535  om0x  8434  oaabs2  8564  omabs  8566  eceqoveq  8746  elpmi  8770  elmapex  8772  pmresg  8794  pmsspw  8801  addnidpi  10792  adderpq  10847  mulerpq  10848  elixx3g  13258  ndmioo  13272  elfz2  13414  fz0  13439  elfzoel1  13557  elfzoel2  13558  fzoval  13560  fzofi  13881  restsspw  17335  fucbas  17870  fuchom  17871  xpcbas  18084  xpchomfval  18085  xpccofval  18088  restrcl  23072  ssrest  23091  resstopn  23101  iocpnfordt  23130  icomnfordt  23131  nghmfval  24637  isnghm  24638  topnfbey  30449  cvmtop1  35304  cvmtop2  35305  ndmico  45674