Theorem ndmov 7595

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7594	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   × cxp 5660  dom cdm 5662  (class class class)co 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7596  ndmovrcl  7597  ndmovcom  7598  ndmovass  7599  ndmovdistr  7600  om0x  8504  oaabs2  8635  omabs  8637  eceqoveq  8820  elpmi  8843  elmapex  8845  pmresg  8868  pmsspw  8875  addnidpi  10886  adderpq  10941  mulerpq  10942  elixx3g  13385  ndmioo  13399  elfz2  13542  fz0  13567  elfzoel1  13685  elfzoel2  13686  fzoval  13688  fzofi  14010  restsspw  17484  fucbas  18020  fuchom  18021  xpcbas  18234  xpchomfval  18235  xpccofval  18238  restrcl  23283  ssrest  23302  resstopn  23312  iocpnfordt  23341  icomnfordt  23342  nghmfval  24848  isnghm  24849  topnfbey  30761  cvmtop1  35651  cvmtop2  35652  ndmico  46172