Theorem ndmov 7580

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7579	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 700	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285   × cxp 5645  dom cdm 5647  (class class class)co 7396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7581  ndmovrcl  7582  ndmovcom  7583  ndmovass  7584  ndmovdistr  7585  om0x  8488  oaabs2  8619  omabs  8621  eceqoveq  8804  elpmi  8827  elmapex  8829  pmresg  8852  pmsspw  8859  addnidpi  10859  adderpq  10914  mulerpq  10915  elixx3g  13362  ndmioo  13376  elfz2  13519  fz0  13544  elfzoel1  13662  elfzoel2  13663  fzoval  13665  fzofi  13987  restsspw  17460  fucbas  17996  fuchom  17997  xpcbas  18210  xpchomfval  18211  xpccofval  18214  restrcl  23217  ssrest  23236  resstopn  23246  iocpnfordt  23275  icomnfordt  23276  nghmfval  24782  isnghm  24783  topnfbey  30671  cvmtop1  35610  cvmtop2  35611  ndmico  46140