MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndmov 6966
Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
ndmov.1 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
Assertion
Ref Expression
ndmov (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov
StepHypRef Expression
1 ndmov.1 . 2 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2 ndmovg 6965 . 2 ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
31, 2mpan 664 1 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4064   × cxp 5248  dom cdm 5250  (class class class)co 6794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-xp 5256  df-dm 5260  df-iota 5995  df-fv 6040  df-ov 6797
This theorem is referenced by:  ndmovcl  6967  ndmovrcl  6968  ndmovcom  6969  ndmovass  6970  ndmovdistr  6971  om0x  7754  oaabs2  7880  omabs  7882  eceqoveq  8006  elpmi  8029  elmapex  8031  pmresg  8038  pmsspw  8045  cdacomen  9206  cdadom1  9211  cdainf  9217  pwcdadom  9241  addnidpi  9926  adderpq  9981  mulerpq  9982  elixx3g  12394  ndmioo  12408  elfz2  12541  fz0  12564  elfzoel1  12677  elfzoel2  12678  fzoval  12680  fzofi  12982  restsspw  16301  fucbas  16828  fuchom  16829  xpcbas  17027  xpchomfval  17028  xpccofval  17031  restrcl  21183  ssrest  21202  resstopn  21212  iocpnfordt  21241  icomnfordt  21242  nghmfval  22747  isnghm  22748  topnfbey  27668  cvmtop1  31581  cvmtop2  31582  ndmico  40312
  Copyright terms: Public domain W3C validator