Theorem ndmov 7598

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7597	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   × cxp 5653  dom cdm 5655  (class class class)co 7413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  ndmovcl  7599  ndmovrcl  7600  ndmovcom  7601  ndmovass  7602  ndmovdistr  7603  om0x  8506  oaabs2  8637  omabs  8639  eceqoveq  8822  elpmi  8845  elmapex  8847  pmresg  8877  pmsspw  8884  addnidpi  10910  adderpq  10965  mulerpq  10966  elixx3g  13411  ndmioo  13425  elfz2  13568  fz0  13593  elfzoel1  13712  elfzoel2  13713  fzoval  13715  fzofi  14038  restsspw  17516  fucbas  18052  fuchom  18053  xpcbas  18266  xpchomfval  18267  xpccofval  18270  restrcl  23382  ssrest  23401  resstopn  23411  iocpnfordt  23440  icomnfordt  23441  nghmfval  24948  isnghm  24949  topnfbey  30949  cvmtop1  35839  cvmtop2  35840  ndmico  46394