Theorem ndmov 7456

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 7455	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 687	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256   × cxp 5587  dom cdm 5589  (class class class)co 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  ndmovcl  7457  ndmovrcl  7458  ndmovcom  7459  ndmovass  7460  ndmovdistr  7461  om0x  8349  oaabs2  8479  omabs  8481  eceqoveq  8611  elpmi  8634  elmapex  8636  pmresg  8658  pmsspw  8665  addnidpi  10657  adderpq  10712  mulerpq  10713  elixx3g  13092  ndmioo  13106  elfz2  13246  fz0  13271  elfzoel1  13385  elfzoel2  13386  fzoval  13388  fzofi  13694  restsspw  17142  fucbas  17677  fuchom  17678  fuchomOLD  17679  xpcbas  17895  xpchomfval  17896  xpccofval  17899  restrcl  22308  ssrest  22327  resstopn  22337  iocpnfordt  22366  icomnfordt  22367  nghmfval  23886  isnghm  23887  topnfbey  28833  cvmtop1  33222  cvmtop2  33223  ndmico  43104