Theorem oninfex2 43284

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals exists. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfex2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem oninfex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onintunirab 43266	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})
2		intex 5282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
5	1, 4	eqeltrrd 2832	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ∪ cuni 4859  ∩ cint 4897  Oncon0 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312

This theorem is referenced by: (None)