Theorem oninfex2 43233

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals exists. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfex2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem oninfex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onintunirab 43215	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})
2		intex 5349	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
5	1, 4	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  ∪ cuni 4911  ∩ cint 4950  Oncon0 6385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391

This theorem is referenced by: (None)