Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onexoegt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onexoegt 42448
Description: For any ordinal, there is always a larger power of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onexoegt (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem onexoegt
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6408 . . . . 5 โˆ… โˆˆ On
2 0lt1o 8499 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ 1o
3 omelon 9636 . . . . . . . 8 ฯ‰ โˆˆ On
4 oe0 8517 . . . . . . . 8 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) = 1o)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) = 1o
62, 5eleqtrri 2824 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…)
76a1i 11 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…))
8 oveq2 7409 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) = (ฯ‰ โ†‘o โˆ…))
98eleq2d 2811 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…)))
109rspcev 3604 . . . . 5 ((โˆ… โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
111, 7, 10sylancr 586 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
12 eleq1 2813 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
1312rexbidv 3170 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
1411, 13mpbird 257 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
1514a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
16 1onn 8634 . . . . . 6 1o โˆˆ ฯ‰
17 ondif2 8497 . . . . . 6 (ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (ฯ‰ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ฯ‰))
183, 16, 17mpbir2an 708 . . . . 5 ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o)
19 ondif1 8496 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด))
2019biimpri 227 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o))
21 oeeu 8598 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ โˆƒ!๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด))
2218, 20, 21sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด))
23 euex 2563 . . . . 5 (โˆƒ!๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด))
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด)
25 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ On)
26 onsuc 7792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ On โ†’ suc ๐‘Ž โˆˆ On)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ suc ๐‘Ž โˆˆ On)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))) โ†’ suc ๐‘Ž โˆˆ On)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด)
30 oecl 8532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On)
313, 25, 30sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On)
323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
33 omcl 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰) โˆˆ On)
3431, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰) โˆˆ On)
35 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))
36 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
37 nnon 7854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
40 omcl 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) โˆˆ On)
4131, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) โˆˆ On)
42 oaordi 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On โˆง ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) โˆˆ On) โ†’ (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))))
4331, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))))
4435, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)))
45 omsuc 8521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) = (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)))
4631, 39, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) = (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)))
4744, 46eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘))
48363ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
49 peano2 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ suc ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
51 peano1 7872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โˆ… โˆˆ ฯ‰
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
53 oen0 8581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))
5432, 25, 52, 53syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))
55 omordi 8561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (suc ๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰)))
5632, 31, 54, 55syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (suc ๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰)))
5750, 56mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))
58 ontr1 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰) โˆˆ On โ†’ (((((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆง ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰)) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰)))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰) โˆˆ On โˆง ((((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆง ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo suc ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))
6034, 47, 57, 59syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))
61 oesuc 8522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž) = ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))
623, 25, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž) = ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ฯ‰))
6360, 62eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž))
6529, 64eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž))
6665adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))) โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž))
67 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = suc ๐‘Ž โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) = (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž))
6867eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = suc ๐‘Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž)))
6968rspcev 3604 . . . . . . . . . . . . 13 ((suc ๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o suc ๐‘Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
7028, 66, 69syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))) โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
7170ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))) โ†’ ((((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
7224, 71syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž))) โ†’ ((๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
73723exp2 1351 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ On โ†’ (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โ†’ (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))))))
7473imp4b 421 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)) โ†’ ((๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))))
7574rexlimdvv 3202 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
7675rexlimdva 3147 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
7776exlimdv 1928 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
7823, 77syl5 34 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ!๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โˆ– 1o)โˆƒ๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆง (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Ž) ยทo ๐‘) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
7922, 78mpd 15 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
8079ex 412 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ)))
81 on0eqel 6478 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
8215, 80, 81mpjaod 857 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ!weu 2554  โˆƒwrex 3062   โˆ– cdif 3937  โˆ…c0 4314  โŸจcotp 4628  Oncon0 6354  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  ฯ‰com 7848  1oc1o 8454  2oc2o 8455   +o coa 8458   ยทo comu 8459   โ†‘o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-oexp 8467
This theorem is referenced by:  cantnf2  42530
  Copyright terms: Public domain W3C validator