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Theorem onexoegt 43256
Description: For any ordinal, there is always a larger power of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onexoegt (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onexoegt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6438 . . . . 5 ∅ ∈ On
2 0lt1o 8542 . . . . . . 7 ∅ ∈ 1o
3 omelon 9686 . . . . . . . 8 ω ∈ On
4 oe0 8560 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 (ω ↑o ∅) = 1o
62, 5eleqtrri 2840 . . . . . 6 ∅ ∈ (ω ↑o ∅)
76a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∅ ∈ (ω ↑o ∅))
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
98eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∅ ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)))
109rspcev 3622 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)) → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
111, 7, 10sylancr 587 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
12 eleq1 2829 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
1312rexbidv 3179 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
1411, 13mpbird 257 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
1514a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
16 1onn 8678 . . . . . 6 1o ∈ ω
17 ondif2 8540 . . . . . 6 (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
183, 16, 17mpbir2an 711 . . . . 5 ω ∈ (On ∖ 2o)
19 ondif1 8539 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))
2019biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (On ∖ 1o))
21 oeeu 8641 . . . . 5 ((ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)) → ∃!𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
2218, 20, 21sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃!𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
23 euex 2577 . . . . 5 (∃!𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
25 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑎 ∈ On)
26 onsuc 7831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 ∈ On)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑎 ∈ On)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → suc 𝑎 ∈ On)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
30 oecl 8575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
313, 25, 30sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ω ∈ On)
33 omcl 8574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ω ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
35 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))
36 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ ω)
37 nnon 7893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ On)
39383ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ On)
40 omcl 8574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
4131, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
42 oaordi 8584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
4331, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
4435, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
45 omsuc 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
4631, 39, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
4744, 46eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏))
48363ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ ω)
49 peano2 7912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ω → suc 𝑏 ∈ ω)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑏 ∈ ω)
51 peano1 7910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ∅ ∈ ω
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ ω)
53 oen0 8624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
5432, 25, 52, 53syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
55 omordi 8604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑎) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
5632, 31, 54, 55syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
5750, 56mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
58 ontr1 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On → (((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On ∧ ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
6034, 47, 57, 59syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
61 oesuc 8565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
623, 25, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
6360, 62eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
6529, 64eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
6665adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
67 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = suc 𝑎 → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o suc 𝑎))
6867eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑎 → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)))
6968rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((suc 𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
7028, 66, 69syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
7170ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
7224, 71syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
73723exp2 1355 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ On → (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))))
7473imp4b 421 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))
7574rexlimdvv 3212 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
7675rexlimdva 3155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
7776exlimdv 1933 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
7823, 77syl5 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃!𝑑𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
7922, 78mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
8079ex 412 . 2 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
81 on0eqel 6508 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8215, 80, 81mpjaod 861 1 (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  ∃!weu 2568  wrex 3070  cdif 3948  c0 4333  cotp 4634  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500   +o coa 8503   ·o comu 8504  o coe 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512
This theorem is referenced by:  cantnf2  43338
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