Theorem onexoegt 44245

Description: For any ordinal, there is always a larger power of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onexoegt	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onexoegt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6418	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
2		0lt1o 8512	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
3		omelon 9647	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
4		oe0 8530	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑o ∅) = 1o
6	2, 5	eleqtrri 2860	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ∈ (ω ↑o ∅))
8		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
9	8	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)))
10	9	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)) → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
11	1, 7, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
12		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
13	12	rexbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
14	11, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
16		1onn 8649	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
17		ondif2 8510	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
18	3, 16, 17	mpbir2an 724	. . . . 5 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
19		ondif1 8509	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))
20	19	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (On ∖ 1o))
21		oeeu 8612	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
22	18, 20, 21	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
23		euex 2603	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
24		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
25		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑎 ∈ On)
26		onsuc 7824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 ∈ On)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑎 ∈ On)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → suc 𝑎 ∈ On)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
30		oecl 8545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
31	3, 25, 30	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ω ∈ On)
33		omcl 8544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ω ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
35		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))
36		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ ω)
37		nnon 7883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ On)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ On)
40		omcl 8544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
41	31, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
42		oaordi 8554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
43	31, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
44	35, 43	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
45		omsuc 8534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
46	31, 39, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
47	44, 46	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏))
48	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ ω)
49		peano2 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ω → suc 𝑏 ∈ ω)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑏 ∈ ω)
51		peano1 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ∈ ω
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ ω)
53		oen0 8595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
54	32, 25, 52, 53	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
55		omordi 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑎) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
56	32, 31, 54, 55	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
57	50, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
58		ontr1 6410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On → (((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
59	58	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On ∧ ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
60	34, 47, 57, 59	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
61		oesuc 8535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
62	3, 25, 61	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
63	60, 62	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
65	29, 64	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
66	65	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
67		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o suc 𝑎))
68	67	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)))
69	68	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
70	28, 66, 69	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
71	70	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
72	24, 71	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
73	72	3exp2 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ On → (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))))
74	73	imp4b 427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))
75	74	rexlimdvv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
76	75	rexlimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
77	76	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
78	23, 77	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
79	22, 78	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
80	79	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
81		on0eqel 6488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
82	15, 80, 81	mpjaod 874	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ⟨cotp 4592  Oncon0 6362  suc csuc 6364  (class class class)co 7420  ωcom 7877  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470   +_o coa 8473   ·_o comu 8474   ↑_o coe 8475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-oexp 8482

This theorem is used by:  cantnf2  44326