Theorem onexoegt 43256

Description: For any ordinal, there is always a larger power of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onexoegt	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onexoegt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6438	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
2		0lt1o 8542	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
3		omelon 9686	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
4		oe0 8560	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑o ∅) = 1o
6	2, 5	eleqtrri 2840	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ∈ (ω ↑o ∅))
8		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
9	8	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)))
10	9	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)) → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
11	1, 7, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
12		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
13	12	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
14	11, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
16		1onn 8678	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
17		ondif2 8540	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
18	3, 16, 17	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
19		ondif1 8539	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))
20	19	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (On ∖ 1o))
21		oeeu 8641	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
22	18, 20, 21	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
23		euex 2577	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
25		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑎 ∈ On)
26		onsuc 7831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 ∈ On)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑎 ∈ On)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → suc 𝑎 ∈ On)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
30		oecl 8575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
31	3, 25, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ω ∈ On)
33		omcl 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ω ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
35		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))
36		eldifi 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ ω)
37		nnon 7893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ On)
39	38	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ On)
40		omcl 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
41	31, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
42		oaordi 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
43	31, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
44	35, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
45		omsuc 8564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
46	31, 39, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
47	44, 46	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏))
48	36	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ ω)
49		peano2 7912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ω → suc 𝑏 ∈ ω)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑏 ∈ ω)
51		peano1 7910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ∈ ω
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ ω)
53		oen0 8624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
54	32, 25, 52, 53	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
55		omordi 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑎) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
56	32, 31, 54, 55	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
57	50, 56	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
58		ontr1 6430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On → (((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On ∧ ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
60	34, 47, 57, 59	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
61		oesuc 8565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
62	3, 25, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
63	60, 62	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
65	29, 64	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
66	65	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
67		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o suc 𝑎))
68	67	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)))
69	68	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
70	28, 66, 69	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
71	70	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
72	24, 71	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
73	72	3exp2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ On → (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))))
74	73	imp4b 421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))
75	74	rexlimdvv 3212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
76	75	rexlimdva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
77	76	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
78	23, 77	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
79	22, 78	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
80	79	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
81		on0eqel 6508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
82	15, 80, 81	mpjaod 861	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  ⟨cotp 4634  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500   +_o coa 8503   ·_o comu 8504   ↑_o coe 8505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512

This theorem is referenced by:  cantnf2  43338