Theorem onexoegt 43897

Description: For any ordinal, there is always a larger power of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onexoegt	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onexoegt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6417	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
2		0lt1o 8489	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
3		omelon 9615	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
4		oe0 8507	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑o ∅) = 1o
6	2, 5	eleqtrri 2868	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∅ ∈ (ω ↑o ∅))
8		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
9	8	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)))
10	9	rspcev 3590	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ ∅ ∈ (ω ↑o ∅)) → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
11	1, 7, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥))
12		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
13	12	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ∅ ∈ (ω ↑o 𝑥)))
14	11, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
16		1onn 8626	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
17		ondif2 8487	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
18	3, 16, 17	mpbir2an 723	. . . . 5 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
19		ondif1 8486	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))
20	19	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (On ∖ 1o))
21		oeeu 8589	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
22	18, 20, 21	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
23		euex 2611	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴))
24		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
25		simp1 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑎 ∈ On)
26		onsuc 7809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 ∈ On)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑎 ∈ On)
28	27	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → suc 𝑎 ∈ On)
29		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴)
30		oecl 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
31	3, 25, 30	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o 𝑎) ∈ On)
32	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ω ∈ On)
33		omcl 8521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ω ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On)
35		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))
36		eldifi 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ ω)
37		nnon 7868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑏 ∈ On)
39	38	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ On)
40		omcl 8521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
41	31, 39, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On)
42		oaordi 8531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) ∈ On) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
43	31, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎))))
44	35, 43	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
45		omsuc 8511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
46	31, 39, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) = (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o (ω ↑o 𝑎)))
47	44, 46	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏))
48	36	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → 𝑏 ∈ ω)
49		peano2 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ω → suc 𝑏 ∈ ω)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → suc 𝑏 ∈ ω)
51		peano1 7885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∅ ∈ ω
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ ω)
53		oen0 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
54	32, 25, 52, 53	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎))
55		omordi 8551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑎) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
56	32, 31, 54, 55	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (suc 𝑏 ∈ ω → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
57	50, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
58		ontr1 6409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On → (((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω)))
59	58	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ω ↑o 𝑎) ·o ω) ∈ On ∧ ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∧ ((ω ↑o 𝑎) ·o suc 𝑏) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
60	34, 47, 57, 59	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
61		oesuc 8512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
62	3, 25, 61	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (ω ↑o suc 𝑎) = ((ω ↑o 𝑎) ·o ω))
63	60, 62	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
64	63	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
65	29, 64	eqeltrrd 2870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
66	65	adantll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎))
67		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o suc 𝑎))
68	67	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑎 → (𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)))
69	68	rspcev 3590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((suc 𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (ω ↑o suc 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
70	28, 66, 69	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
71	70	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
72	24, 71	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎))) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
73	72	3exp2 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ On → (𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))))
74	73	imp4b 426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)) → ((𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))))
75	74	rexlimdvv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
76	75	rexlimdva 3172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
77	76	exlimdv 1960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
78	23, 77	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∃!𝑑∃𝑎 ∈ On ∃𝑏 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑐 ∈ (ω ↑o 𝑎)(𝑑 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑎) ·o 𝑏) +o 𝑐) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
79	22, 78	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))
80	79	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥)))
81		on0eqel 6487	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
82	15, 80, 81	mpjaod 873	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (ω ↑o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃!weu 2602  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  ⟨cotp 4602  Oncon0 6361  suc csuc 6363  (class class class)co 7411  ωcom 7862  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447   +_o coa 8450   ·_o comu 8451   ↑_o coe 8452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-oexp 8459

This theorem is referenced by:  cantnf2  43978