HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem3 31126
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem2.2 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
opsqrlem2.3 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem3 ((๐บ โˆˆ HrmOp โˆง ๐ป โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐บ๐‘†๐ป) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem opsqrlem3
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (๐‘ง = ๐บ โ†’ ๐‘ง = ๐บ)
21, 1coeq12d 5821 . . . . 5 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐บ โˆ˜ ๐บ))
32oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) = (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))
43oveq2d 7374 . . 3 (๐‘ง = ๐บ โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) = ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ))))
51, 4oveq12d 7376 . 2 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
6 eqidd 2734 . 2 (๐‘ค = ๐ป โ†’ (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
7 opsqrlem2.2 . . 3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
8 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
98, 8coeq12d 5821 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))
109oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)) = (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))
1110oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ))) = ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))))
128, 11oveq12d 7376 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
13 eqidd 2734 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
1412, 13cbvmpov 7453 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ))))) = (๐‘ง โˆˆ HrmOp, ๐‘ค โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
157, 14eqtri 2761 . 2 ๐‘† = (๐‘ง โˆˆ HrmOp, ๐‘ค โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
16 ovex 7391 . 2 (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))) โˆˆ V
175, 6, 15, 16ovmpo 7516 1 ((๐บ โˆˆ HrmOp โˆง ๐ป โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐บ๐‘†๐ป) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4587   ร— cxp 5632   โˆ˜ ccom 5638  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  1c1 11057   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  seqcseq 13912   +op chos 29922   ยทop chot 29923   โˆ’op chod 29924   0hop ch0o 29927  HrmOpcho 29934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363
This theorem is referenced by:  opsqrlem4  31127  opsqrlem5  31128
  Copyright terms: Public domain W3C validator