HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem3 31904
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem2.2 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
opsqrlem2.3 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem3 ((๐บ โˆˆ HrmOp โˆง ๐ป โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐บ๐‘†๐ป) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem opsqrlem3
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (๐‘ง = ๐บ โ†’ ๐‘ง = ๐บ)
21, 1coeq12d 5858 . . . . 5 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐บ โˆ˜ ๐บ))
32oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) = (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))
43oveq2d 7421 . . 3 (๐‘ง = ๐บ โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) = ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ))))
51, 4oveq12d 7423 . 2 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
6 eqidd 2727 . 2 (๐‘ค = ๐ป โ†’ (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
7 opsqrlem2.2 . . 3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
8 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)
98, 8coeq12d 5858 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))
109oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)) = (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))
1110oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ))) = ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))))
128, 11oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
13 eqidd 2727 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
1412, 13cbvmpov 7500 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ))))) = (๐‘ง โˆˆ HrmOp, ๐‘ค โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
157, 14eqtri 2754 . 2 ๐‘† = (๐‘ง โˆˆ HrmOp, ๐‘ค โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
16 ovex 7438 . 2 (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))) โˆˆ V
175, 6, 15, 16ovmpo 7564 1 ((๐บ โˆˆ HrmOp โˆง ๐ป โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐บ๐‘†๐ป) = (๐บ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐บ โˆ˜ ๐บ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4623   ร— cxp 5667   โˆ˜ ccom 5673  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  1c1 11113   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  seqcseq 13972   +op chos 30700   ยทop chot 30701   โˆ’op chod 30702   0hop ch0o 30705  HrmOpcho 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410
This theorem is referenced by:  opsqrlem4  31905  opsqrlem5  31906
  Copyright terms: Public domain W3C validator