Theorem opsqrlem4 31905

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem2.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
opsqrlem2.3	⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem4	⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem4

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12869	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12597	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0hmop 31745	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop ∈ HrmOp
4	3	elexi 3488	. . . . . . 7 ⊢ 0hop ∈ V
5	4	fvconst2 7201	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) = 0hop )
6	5, 3	eqeltrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
8		opsqrlem2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
9		opsqrlem2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
10		opsqrlem2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
11	8, 9, 10	opsqrlem3 31904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) = (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))))
12		halfre 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
13		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → 𝑧 ∈ HrmOp)
14		eqidd 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧))
15		hmopco 31785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧)) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
16	13, 13, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
17		hmopd 31784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
18	8, 16, 17	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
19		hmopm 31783	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
20	12, 18, 19	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
21		hmops 31782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
22	20, 21	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
23	11, 22	eqeltrd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp)) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
25	1, 2, 7, 24	seqf 13994	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
26	25	mptru 1540	. 2 ⊢ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp
27	10	feq1i 6702	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶HrmOp ↔ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
28	26, 27	mpbir 230	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  {csn 4623   × cxp 5667   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℝcr 11111  1c1 11113   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  seqcseq 13972   +_op chos 30700   ·_op chot 30701   −_op chod 30702   0_hop ch0o 30705  HrmOpcho 30712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-hosum 31492  df-homul 31493  df-hodif 31494  df-h0op 31510  df-hmop 31606

This theorem is referenced by:  opsqrlem5  31906  opsqrlem6  31907