Theorem opsqrlem4 32230

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem2.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
opsqrlem2.3	⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem4	⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem4

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12802	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0hmop 32070	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop ∈ HrmOp
4	3	elexi 3465	. . . . . . 7 ⊢ 0hop ∈ V
5	4	fvconst2 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) = 0hop )
6	5, 3	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
8		opsqrlem2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
9		opsqrlem2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
10		opsqrlem2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
11	8, 9, 10	opsqrlem3 32229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) = (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))))
12		halfre 12366	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
13		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → 𝑧 ∈ HrmOp)
14		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧))
15		hmopco 32110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧)) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
16	13, 13, 14, 15	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
17		hmopd 32109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
18	8, 16, 17	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
19		hmopm 32108	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
20	12, 18, 19	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
21		hmops 32107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
22	20, 21	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
23	11, 22	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp)) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
25	1, 2, 7, 24	seqf 13958	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
26	25	mptru 1549	. 2 ⊢ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp
27	10	feq1i 6661	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶HrmOp ↔ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
28	26, 27	mpbir 231	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {csn 4582   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℝcr 11037  1c1 11039   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  seqcseq 13936   +_op chos 31025   ·_op chot 31026   −_op chod 31027   0_hop ch0o 31030  HrmOpcho 31037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172  ax-hcompl 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-dip 30788  df-ssp 30809  df-ph 30900  df-cbn 30950  df-hnorm 31055  df-hba 31056  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-hcau 31060  df-sh 31294  df-ch 31308  df-oc 31339  df-ch0 31340  df-shs 31395  df-pjh 31482  df-hosum 31817  df-homul 31818  df-hodif 31819  df-h0op 31835  df-hmop 31931

This theorem is referenced by:  opsqrlem5  32231  opsqrlem6  32232