HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem4 30914
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem2.2 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
opsqrlem2.3 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem4 ๐น:โ„•โŸถHrmOp
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem opsqrlem4
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12760 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12492 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 0hmop 30754 . . . . . . . 8 0hop โˆˆ HrmOp
43elexi 3462 . . . . . . 7 0hop โˆˆ V
54fvconst2 7149 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) = 0hop )
65, 3eqeltrdi 2846 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
76adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
8 opsqrlem2.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
9 opsqrlem2.2 . . . . . . 7 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
10 opsqrlem2.3 . . . . . . 7 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
118, 9, 10opsqrlem3 30913 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
12 halfre 12325 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„
13 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ ๐‘ง โˆˆ HrmOp)
14 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))
15 hmopco 30794 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
1613, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
17 hmopd 30793 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp)
188, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp)
19 hmopm 30792 . . . . . . . 8 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp) โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp)
2012, 18, 19sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp)
21 hmops 30791 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) โˆˆ HrmOp)
2220, 21syldan 591 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) โˆˆ HrmOp)
2311, 22eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) โˆˆ HrmOp)
2423adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp)) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) โˆˆ HrmOp)
251, 2, 7, 24seqf 13883 . . 3 (โŠค โ†’ seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp)
2625mptru 1548 . 2 seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp
2710feq1i 6656 . 2 (๐น:โ„•โŸถHrmOp โ†” seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp)
2826, 27mpbir 230 1 ๐น:โ„•โŸถHrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106  {csn 4584   ร— cxp 5629   โˆ˜ ccom 5635  โŸถwf 6489  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  โ„cr 11008  1c1 11010   / cdiv 11770  โ„•cn 12111  2c2 12166  seqcseq 13860   +op chos 29709   ยทop chot 29710   โˆ’op chod 29711   0hop ch0o 29714  HrmOpcho 29721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvmulass 29778  ax-hvdistr1 29779  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781  ax-hfi 29850  ax-his1 29853  ax-his2 29854  ax-his3 29855  ax-his4 29856  ax-hcompl 29973
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-lm 22532  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cfil 24571  df-cau 24572  df-cmet 24573  df-grpo 29264  df-gid 29265  df-ginv 29266  df-gdiv 29267  df-ablo 29316  df-vc 29330  df-nv 29363  df-va 29366  df-ba 29367  df-sm 29368  df-0v 29369  df-vs 29370  df-nmcv 29371  df-ims 29372  df-dip 29472  df-ssp 29493  df-ph 29584  df-cbn 29634  df-hnorm 29739  df-hba 29740  df-hvsub 29742  df-hlim 29743  df-hcau 29744  df-sh 29978  df-ch 29992  df-oc 30023  df-ch0 30024  df-shs 30079  df-pjh 30166  df-hosum 30501  df-homul 30502  df-hodif 30503  df-h0op 30519  df-hmop 30615
This theorem is referenced by:  opsqrlem5  30915  opsqrlem6  30916
  Copyright terms: Public domain W3C validator