HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem4 31383
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
opsqrlem2.2 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
opsqrlem2.3 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem4 ๐น:โ„•โŸถHrmOp
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem opsqrlem4
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12589 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 0hmop 31223 . . . . . . . 8 0hop โˆˆ HrmOp
43elexi 3493 . . . . . . 7 0hop โˆˆ V
54fvconst2 7201 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) = 0hop )
65, 3eqeltrdi 2841 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
76adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— { 0hop })โ€˜๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
8 opsqrlem2.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ HrmOp
9 opsqrlem2.2 . . . . . . 7 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ HrmOp, ๐‘ฆ โˆˆ HrmOp โ†ฆ (๐‘ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ฅ โˆ˜ ๐‘ฅ)))))
10 opsqrlem2.3 . . . . . . 7 ๐น = seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop }))
118, 9, 10opsqrlem3 31382 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) = (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))))
12 halfre 12422 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„
13 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ ๐‘ง โˆˆ HrmOp)
14 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))
15 hmopco 31263 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) = (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
1613, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp)
17 hmopd 31262 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง) โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp)
188, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp)
19 hmopm 31261 . . . . . . . 8 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)) โˆˆ HrmOp) โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp)
2012, 18, 19sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp)
21 hmops 31260 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง))) โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) โˆˆ HrmOp)
2220, 21syldan 591 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง +op ((1 / 2) ยทop (๐‘‡ โˆ’op (๐‘ง โˆ˜ ๐‘ง)))) โˆˆ HrmOp)
2311, 22eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) โˆˆ HrmOp)
2423adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ง โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ค โˆˆ HrmOp)) โ†’ (๐‘ง๐‘†๐‘ค) โˆˆ HrmOp)
251, 2, 7, 24seqf 13985 . . 3 (โŠค โ†’ seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp)
2625mptru 1548 . 2 seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp
2710feq1i 6705 . 2 (๐น:โ„•โŸถHrmOp โ†” seq1(๐‘†, (โ„• ร— { 0hop })):โ„•โŸถHrmOp)
2826, 27mpbir 230 1 ๐น:โ„•โŸถHrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106  {csn 4627   ร— cxp 5673   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„cr 11105  1c1 11107   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  seqcseq 13962   +op chos 30178   ยทop chot 30179   โˆ’op chod 30180   0hop ch0o 30183  HrmOpcho 30190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635  df-hosum 30970  df-homul 30971  df-hodif 30972  df-h0op 30988  df-hmop 31084
This theorem is referenced by:  opsqrlem5  31384  opsqrlem6  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator