Theorem opsqrlem4 32106

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem2.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
opsqrlem2.3	⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem4	⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem4

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12797	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12525	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0hmop 31946	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop ∈ HrmOp
4	3	elexi 3461	. . . . . . 7 ⊢ 0hop ∈ V
5	4	fvconst2 7144	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) = 0hop )
6	5, 3	eqeltrdi 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
8		opsqrlem2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
9		opsqrlem2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑥 ∘ 𝑥)))))
10		opsqrlem2.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
11	8, 9, 10	opsqrlem3 32105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) = (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))))
12		halfre 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
13		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → 𝑧 ∈ HrmOp)
14		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧))
15		hmopco 31986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) = (𝑧 ∘ 𝑧)) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
16	13, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp)
17		hmopd 31985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
18	8, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp)
19		hmopm 31984	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)) ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
20	12, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp)
21		hmops 31983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧))) ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
22	20, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇 −op (𝑧 ∘ 𝑧)))) ∈ HrmOp)
23	11, 22	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp)) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
25	1, 2, 7, 24	seqf 13949	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
26	25	mptru 1547	. 2 ⊢ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp
27	10	feq1i 6647	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶HrmOp ↔ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
28	26, 27	mpbir 231	1 ⊢ 𝐹:ℕ⟶HrmOp

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  {csn 4579   × cxp 5621   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ℝcr 11027  1c1 11029   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  seqcseq 13927   +_op chos 30901   ·_op chot 30902   −_op chod 30903   0_hop ch0o 30906  HrmOpcho 30913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 30962  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his2 31046  ax-his3 31047  ax-his4 31048  ax-hcompl 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-lm 23133  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25172  df-cau 25173  df-cmet 25174  df-grpo 30456  df-gid 30457  df-ginv 30458  df-gdiv 30459  df-ablo 30508  df-vc 30522  df-nv 30555  df-va 30558  df-ba 30559  df-sm 30560  df-0v 30561  df-vs 30562  df-nmcv 30563  df-ims 30564  df-dip 30664  df-ssp 30685  df-ph 30776  df-cbn 30826  df-hnorm 30931  df-hba 30932  df-hvsub 30934  df-hlim 30935  df-hcau 30936  df-sh 31170  df-ch 31184  df-oc 31215  df-ch0 31216  df-shs 31271  df-pjh 31358  df-hosum 31693  df-homul 31694  df-hodif 31695  df-h0op 31711  df-hmop 31807

This theorem is referenced by:  opsqrlem5  32107  opsqrlem6  32108