Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > opsqrlem4 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
opsqrlem2.1 | โข ๐ โ HrmOp |
opsqrlem2.2 | โข ๐ = (๐ฅ โ HrmOp, ๐ฆ โ HrmOp โฆ (๐ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ฅ โ ๐ฅ))))) |
opsqrlem2.3 | โข ๐น = seq1(๐, (โ ร { 0hop })) |
Ref | Expression |
---|---|
opsqrlem4 | โข ๐น:โโถHrmOp |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnuz 12760 | . . . 4 โข โ = (โคโฅโ1) | |
2 | 1zzd 12492 | . . . 4 โข (โค โ 1 โ โค) | |
3 | 0hmop 30754 | . . . . . . . 8 โข 0hop โ HrmOp | |
4 | 3 | elexi 3462 | . . . . . . 7 โข 0hop โ V |
5 | 4 | fvconst2 7149 | . . . . . 6 โข (๐ง โ โ โ ((โ ร { 0hop })โ๐ง) = 0hop ) |
6 | 5, 3 | eqeltrdi 2846 | . . . . 5 โข (๐ง โ โ โ ((โ ร { 0hop })โ๐ง) โ HrmOp) |
7 | 6 | adantl 482 | . . . 4 โข ((โค โง ๐ง โ โ) โ ((โ ร { 0hop })โ๐ง) โ HrmOp) |
8 | opsqrlem2.1 | . . . . . . 7 โข ๐ โ HrmOp | |
9 | opsqrlem2.2 | . . . . . . 7 โข ๐ = (๐ฅ โ HrmOp, ๐ฆ โ HrmOp โฆ (๐ฅ +op ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ฅ โ ๐ฅ))))) | |
10 | opsqrlem2.3 | . . . . . . 7 โข ๐น = seq1(๐, (โ ร { 0hop })) | |
11 | 8, 9, 10 | opsqrlem3 30913 | . . . . . 6 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ง๐๐ค) = (๐ง +op ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง))))) |
12 | halfre 12325 | . . . . . . . 8 โข (1 / 2) โ โ | |
13 | simpl 483 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ ๐ง โ HrmOp) | |
14 | eqidd 2738 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ง โ ๐ง) = (๐ง โ ๐ง)) | |
15 | hmopco 30794 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ง โ HrmOp โง (๐ง โ ๐ง) = (๐ง โ ๐ง)) โ (๐ง โ ๐ง) โ HrmOp) | |
16 | 13, 13, 14, 15 | syl3anc 1371 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ง โ ๐ง) โ HrmOp) |
17 | hmopd 30793 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ HrmOp โง (๐ง โ ๐ง) โ HrmOp) โ (๐ โop (๐ง โ ๐ง)) โ HrmOp) | |
18 | 8, 16, 17 | sylancr 587 | . . . . . . . 8 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ โop (๐ง โ ๐ง)) โ HrmOp) |
19 | hmopm 30792 | . . . . . . . 8 โข (((1 / 2) โ โ โง (๐ โop (๐ง โ ๐ง)) โ HrmOp) โ ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง))) โ HrmOp) | |
20 | 12, 18, 19 | sylancr 587 | . . . . . . 7 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง))) โ HrmOp) |
21 | hmops 30791 | . . . . . . 7 โข ((๐ง โ HrmOp โง ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง))) โ HrmOp) โ (๐ง +op ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง)))) โ HrmOp) | |
22 | 20, 21 | syldan 591 | . . . . . 6 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ง +op ((1 / 2) ยทop (๐ โop (๐ง โ ๐ง)))) โ HrmOp) |
23 | 11, 22 | eqeltrd 2838 | . . . . 5 โข ((๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp) โ (๐ง๐๐ค) โ HrmOp) |
24 | 23 | adantl 482 | . . . 4 โข ((โค โง (๐ง โ HrmOp โง ๐ค โ HrmOp)) โ (๐ง๐๐ค) โ HrmOp) |
25 | 1, 2, 7, 24 | seqf 13883 | . . 3 โข (โค โ seq1(๐, (โ ร { 0hop })):โโถHrmOp) |
26 | 25 | mptru 1548 | . 2 โข seq1(๐, (โ ร { 0hop })):โโถHrmOp |
27 | 10 | feq1i 6656 | . 2 โข (๐น:โโถHrmOp โ seq1(๐, (โ ร { 0hop })):โโถHrmOp) |
28 | 26, 27 | mpbir 230 | 1 โข ๐น:โโถHrmOp |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 396 = wceq 1541 โคwtru 1542 โ wcel 2106 {csn 4584 ร cxp 5629 โ ccom 5635 โถwf 6489 โcfv 6493 (class class class)co 7351 โ cmpo 7353 โcr 11008 1c1 11010 / cdiv 11770 โcn 12111 2c2 12166 seqcseq 13860 +op chos 29709 ยทop chot 29710 โop chod 29711 0hop ch0o 29714 HrmOpcho 29721 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-rep 5240 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7664 ax-inf2 9535 ax-cc 10329 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087 ax-addf 11088 ax-mulf 11089 ax-hilex 29770 ax-hfvadd 29771 ax-hvcom 29772 ax-hvass 29773 ax-hv0cl 29774 ax-hvaddid 29775 ax-hfvmul 29776 ax-hvmulid 29777 ax-hvmulass 29778 ax-hvdistr1 29779 ax-hvdistr2 29780 ax-hvmul0 29781 ax-hfi 29850 ax-his1 29853 ax-his2 29854 ax-his3 29855 ax-his4 29856 ax-hcompl 29973 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4864 df-int 4906 df-iun 4954 df-iin 4955 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-se 5587 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6251 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7307 df-ov 7354 df-oprab 7355 df-mpo 7356 df-of 7609 df-om 7795 df-1st 7913 df-2nd 7914 df-supp 8085 df-frecs 8204 df-wrecs 8235 df-recs 8309 df-rdg 8348 df-1o 8404 df-2o 8405 df-oadd 8408 df-omul 8409 df-er 8606 df-map 8725 df-pm 8726 df-ixp 8794 df-en 8842 df-dom 8843 df-sdom 8844 df-fin 8845 df-fsupp 9264 df-fi 9305 df-sup 9336 df-inf 9337 df-oi 9404 df-card 9833 df-acn 9836 df-pnf 11149 df-mnf 11150 df-xr 11151 df-ltxr 11152 df-le 11153 df-sub 11345 df-neg 11346 df-div 11771 df-nn 12112 df-2 12174 df-3 12175 df-4 12176 df-5 12177 df-6 12178 df-7 12179 df-8 12180 df-9 12181 df-n0 12372 df-z 12458 df-dec 12577 df-uz 12722 df-q 12828 df-rp 12870 df-xneg 12987 df-xadd 12988 df-xmul 12989 df-ioo 13222 df-ico 13224 df-icc 13225 df-fz 13379 df-fzo 13522 df-fl 13651 df-seq 13861 df-exp 13922 df-hash 14185 df-cj 14944 df-re 14945 df-im 14946 df-sqrt 15080 df-abs 15081 df-clim 15330 df-rlim 15331 df-sum 15531 df-struct 16979 df-sets 16996 df-slot 17014 df-ndx 17026 df-base 17044 df-ress 17073 df-plusg 17106 df-mulr 17107 df-starv 17108 df-sca 17109 df-vsca 17110 df-ip 17111 df-tset 17112 df-ple 17113 df-ds 17115 df-unif 17116 df-hom 17117 df-cco 17118 df-rest 17264 df-topn 17265 df-0g 17283 df-gsum 17284 df-topgen 17285 df-pt 17286 df-prds 17289 df-xrs 17344 df-qtop 17349 df-imas 17350 df-xps 17352 df-mre 17426 df-mrc 17427 df-acs 17429 df-mgm 18457 df-sgrp 18506 df-mnd 18517 df-submnd 18562 df-mulg 18832 df-cntz 19056 df-cmn 19523 df-psmet 20741 df-xmet 20742 df-met 20743 df-bl 20744 df-mopn 20745 df-fbas 20746 df-fg 20747 df-cnfld 20750 df-top 22195 df-topon 22212 df-topsp 22234 df-bases 22248 df-cld 22322 df-ntr 22323 df-cls 22324 df-nei 22401 df-cn 22530 df-cnp 22531 df-lm 22532 df-haus 22618 df-tx 22865 df-hmeo 23058 df-fil 23149 df-fm 23241 df-flim 23242 df-flf 23243 df-xms 23625 df-ms 23626 df-tms 23627 df-cfil 24571 df-cau 24572 df-cmet 24573 df-grpo 29264 df-gid 29265 df-ginv 29266 df-gdiv 29267 df-ablo 29316 df-vc 29330 df-nv 29363 df-va 29366 df-ba 29367 df-sm 29368 df-0v 29369 df-vs 29370 df-nmcv 29371 df-ims 29372 df-dip 29472 df-ssp 29493 df-ph 29584 df-cbn 29634 df-hnorm 29739 df-hba 29740 df-hvsub 29742 df-hlim 29743 df-hcau 29744 df-sh 29978 df-ch 29992 df-oc 30023 df-ch0 30024 df-shs 30079 df-pjh 30166 df-hosum 30501 df-homul 30502 df-hodif 30503 df-h0op 30519 df-hmop 30615 |
This theorem is referenced by: opsqrlem5 30915 opsqrlem6 30916 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |