HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem4 31374
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
opsqrlem2.3 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem4 𝐹:ℕ⟶HrmOp
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opsqrlem4
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12589 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 0hmop 31214 . . . . . . . 8 0hop ∈ HrmOp
43elexi 3494 . . . . . . 7 0hop ∈ V
54fvconst2 7200 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) = 0hop )
65, 3eqeltrdi 2842 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
76adantl 483 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0hop })‘𝑧) ∈ HrmOp)
8 opsqrlem2.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ HrmOp
9 opsqrlem2.2 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑥 ∈ HrmOp, 𝑦 ∈ HrmOp ↦ (𝑥 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑥𝑥)))))
10 opsqrlem2.3 . . . . . . 7 𝐹 = seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop }))
118, 9, 10opsqrlem3 31373 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) = (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧)))))
12 halfre 12422 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
13 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → 𝑧 ∈ HrmOp)
14 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑧) = (𝑧𝑧))
15 hmopco 31254 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑧 ∈ HrmOp ∧ (𝑧𝑧) = (𝑧𝑧)) → (𝑧𝑧) ∈ HrmOp)
1613, 13, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑧) ∈ HrmOp)
17 hmopd 31253 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑧𝑧) ∈ HrmOp) → (𝑇op (𝑧𝑧)) ∈ HrmOp)
188, 16, 17sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑇op (𝑧𝑧)) ∈ HrmOp)
19 hmopm 31252 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇op (𝑧𝑧)) ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧))) ∈ HrmOp)
2012, 18, 19sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧))) ∈ HrmOp)
21 hmops 31251 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧))) ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧)))) ∈ HrmOp)
2220, 21syldan 592 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧 +op ((1 / 2) ·op (𝑇op (𝑧𝑧)))) ∈ HrmOp)
2311, 22eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
2423adantl 483 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑧 ∈ HrmOp ∧ 𝑤 ∈ HrmOp)) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ HrmOp)
251, 2, 7, 24seqf 13985 . . 3 (⊤ → seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
2625mptru 1549 . 2 seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp
2710feq1i 6705 . 2 (𝐹:ℕ⟶HrmOp ↔ seq1(𝑆, (ℕ × { 0hop })):ℕ⟶HrmOp)
2826, 27mpbir 230 1 𝐹:ℕ⟶HrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  {csn 4627   × cxp 5673  ccom 5679  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  cr 11105  1c1 11107   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  seqcseq 13962   +op chos 30169   ·op chot 30170  op chod 30171   0hop ch0o 30174  HrmOpcho 30181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-pjh 30626  df-hosum 30961  df-homul 30962  df-hodif 30963  df-h0op 30979  df-hmop 31075
This theorem is referenced by:  opsqrlem5  31375  opsqrlem6  31376
  Copyright terms: Public domain W3C validator