MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem14 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem14 10231
Description: Lemma for ackbij1 10236. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem14 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem14
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem8 10225 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
3 pweq 4617 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 βˆ…)
43fveq2d 6896 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« βˆ…))
5 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…))
6 suceq 6431 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
75, 6syl 17 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
84, 7eqeq12d 2747 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)))
9 pweq 4617 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝑏)
109fveq2d 6896 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
11 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
12 suceq 6431 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1311, 12syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1410, 13eqeq12d 2747 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)))
15 pweq 4617 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 suc 𝑏)
1615fveq2d 6896 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« suc 𝑏))
17 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏))
18 suceq 6431 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
1917, 18syl 17 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
2016, 19eqeq12d 2747 . . 3 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
21 pweq 4617 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝐴)
2221fveq2d 6896 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
23 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄))
24 suceq 6431 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2523, 24syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2622, 25eqeq12d 2747 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄)))
27 df-1o 8469 . . . 4 1o = suc βˆ…
28 pw0 4816 . . . . . 6 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
2928fveq2i 6895 . . . . 5 (cardβ€˜π’« βˆ…) = (cardβ€˜{βˆ…})
30 0ex 5308 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
31 cardsn 9967 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o)
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5 (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o
3329, 32eqtri 2759 . . . 4 (cardβ€˜π’« βˆ…) = 1o
341ackbij1lem13 10230 . . . . 5 (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…
35 suceq 6431 . . . . 5 ((πΉβ€˜βˆ…) = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…)
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…
3727, 33, 363eqtr4i 2769 . . 3 (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)
38 oveq2 7420 . . . . . 6 ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
3938adantl 481 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
40 ackbij1lem5 10222 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
42 df-suc 6371 . . . . . . . . . 10 suc 𝑏 = (𝑏 βˆͺ {𝑏})
4342equncomi 4156 . . . . . . . . 9 suc 𝑏 = ({𝑏} βˆͺ 𝑏)
4443fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜suc 𝑏) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏))
45 ackbij1lem4 10221 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
47 ackbij1lem3 10220 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
49 incom 4202 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ∩ 𝑏) = (𝑏 ∩ {𝑏})
50 nnord 7866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑏)
51 orddisj 6403 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑏 β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5349, 52eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
551ackbij1lem9 10226 . . . . . . . . . 10 (({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
571ackbij1lem8 10225 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5857adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5958oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6056, 59eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6144, 60eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
62 suceq 6431 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
64 nnfi 9170 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ Fin)
65 pwfi 9181 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6664, 65sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
68 ficardom 9959 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑏 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
701ackbij1lem10 10227 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
7170ffvelcdmi 7086 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
7248, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
73 nnasuc 8609 . . . . . . 7 (((cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7469, 72, 73syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7563, 74eqtr4d 2774 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
7639, 41, 753eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
7776ex 412 . . 3 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
788, 14, 20, 26, 37, 77finds 7892 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄))
792, 78eqtrd 2771 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  Ord word 6364  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858  1oc1o 8462   +o coa 8466  Fincfn 8942  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937
This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10232  ackbij1lem18  10235  ackbij1b  10237
  Copyright terms: Public domain W3C validator