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Theorem ackbij1lem14 10225
Description: Lemma for ackbij1 10230. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem14 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem14
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem8 10219 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
3 pweq 4616 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 βˆ…)
43fveq2d 6893 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« βˆ…))
5 fveq2 6889 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…))
6 suceq 6428 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
75, 6syl 17 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
84, 7eqeq12d 2749 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)))
9 pweq 4616 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝑏)
109fveq2d 6893 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
11 fveq2 6889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
12 suceq 6428 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1311, 12syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1410, 13eqeq12d 2749 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)))
15 pweq 4616 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 suc 𝑏)
1615fveq2d 6893 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« suc 𝑏))
17 fveq2 6889 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏))
18 suceq 6428 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
1917, 18syl 17 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
2016, 19eqeq12d 2749 . . 3 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
21 pweq 4616 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝐴)
2221fveq2d 6893 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
23 fveq2 6889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄))
24 suceq 6428 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2523, 24syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2622, 25eqeq12d 2749 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄)))
27 df-1o 8463 . . . 4 1o = suc βˆ…
28 pw0 4815 . . . . . 6 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
2928fveq2i 6892 . . . . 5 (cardβ€˜π’« βˆ…) = (cardβ€˜{βˆ…})
30 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
31 cardsn 9961 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o)
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5 (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o
3329, 32eqtri 2761 . . . 4 (cardβ€˜π’« βˆ…) = 1o
341ackbij1lem13 10224 . . . . 5 (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…
35 suceq 6428 . . . . 5 ((πΉβ€˜βˆ…) = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…)
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…
3727, 33, 363eqtr4i 2771 . . 3 (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)
38 oveq2 7414 . . . . . 6 ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
3938adantl 483 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
40 ackbij1lem5 10216 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
4140adantr 482 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
42 df-suc 6368 . . . . . . . . . 10 suc 𝑏 = (𝑏 βˆͺ {𝑏})
4342equncomi 4155 . . . . . . . . 9 suc 𝑏 = ({𝑏} βˆͺ 𝑏)
4443fveq2i 6892 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜suc 𝑏) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏))
45 ackbij1lem4 10215 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
47 ackbij1lem3 10214 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4847adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
49 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ∩ 𝑏) = (𝑏 ∩ {𝑏})
50 nnord 7860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑏)
51 orddisj 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑏 β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5349, 52eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
551ackbij1lem9 10220 . . . . . . . . . 10 (({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
571ackbij1lem8 10219 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5857adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5958oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6056, 59eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6144, 60eqtrid 2785 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
62 suceq 6428 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
64 nnfi 9164 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ Fin)
65 pwfi 9175 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6664, 65sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6766adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
68 ficardom 9953 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑏 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
701ackbij1lem10 10221 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
7170ffvelcdmi 7083 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
7248, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
73 nnasuc 8603 . . . . . . 7 (((cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7469, 72, 73syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7563, 74eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
7639, 41, 753eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
7776ex 414 . . 3 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
788, 14, 20, 26, 37, 77finds 7886 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄))
792, 78eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Ord word 6361  suc csuc 6364  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Ο‰com 7852  1oc1o 8456   +o coa 8460  Fincfn 8936  cardccrd 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931
This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10226  ackbij1lem18  10229  ackbij1b  10231
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