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Theorem ackbij1lem14 10230
Description: Lemma for ackbij1 10235. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem14 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem14
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem8 10224 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
3 pweq 4615 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 βˆ…)
43fveq2d 6894 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« βˆ…))
5 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…))
6 suceq 6429 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜βˆ…) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
75, 6syl 17 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜βˆ…))
84, 7eqeq12d 2746 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)))
9 pweq 4615 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝑏)
109fveq2d 6894 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
11 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
12 suceq 6429 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1311, 12syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘))
1410, 13eqeq12d 2746 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)))
15 pweq 4615 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 suc 𝑏)
1615fveq2d 6894 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« suc 𝑏))
17 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏))
18 suceq 6429 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜suc 𝑏) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
1917, 18syl 17 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
2016, 19eqeq12d 2746 . . 3 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
21 pweq 4615 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝐴)
2221fveq2d 6894 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
23 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄))
24 suceq 6429 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π΄) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2523, 24syl 17 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π΄))
2622, 25eqeq12d 2746 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((cardβ€˜π’« π‘Ž) = suc (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄)))
27 df-1o 8468 . . . 4 1o = suc βˆ…
28 pw0 4814 . . . . . 6 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
2928fveq2i 6893 . . . . 5 (cardβ€˜π’« βˆ…) = (cardβ€˜{βˆ…})
30 0ex 5306 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
31 cardsn 9966 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o)
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5 (cardβ€˜{βˆ…}) = 1o
3329, 32eqtri 2758 . . . 4 (cardβ€˜π’« βˆ…) = 1o
341ackbij1lem13 10229 . . . . 5 (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…
35 suceq 6429 . . . . 5 ((πΉβ€˜βˆ…) = βˆ… β†’ suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…)
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 suc (πΉβ€˜βˆ…) = suc βˆ…
3727, 33, 363eqtr4i 2768 . . 3 (cardβ€˜π’« βˆ…) = suc (πΉβ€˜βˆ…)
38 oveq2 7419 . . . . . 6 ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
3938adantl 480 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
40 ackbij1lem5 10221 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
4140adantr 479 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (cardβ€˜π’« 𝑏)))
42 df-suc 6369 . . . . . . . . . 10 suc 𝑏 = (𝑏 βˆͺ {𝑏})
4342equncomi 4154 . . . . . . . . 9 suc 𝑏 = ({𝑏} βˆͺ 𝑏)
4443fveq2i 6893 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜suc 𝑏) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏))
45 ackbij1lem4 10220 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4645adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
47 ackbij1lem3 10219 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4847adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
49 incom 4200 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ∩ 𝑏) = (𝑏 ∩ {𝑏})
50 nnord 7865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑏)
51 orddisj 6401 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑏 β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
5349, 52eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
5453adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…)
551ackbij1lem9 10225 . . . . . . . . . 10 (({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ 𝑏) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)))
571ackbij1lem8 10224 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5857adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) = (cardβ€˜π’« 𝑏))
5958oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜π‘)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6056, 59eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ 𝑏)) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6144, 60eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
62 suceq 6429 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
64 nnfi 9169 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝑏 ∈ Fin)
65 pwfi 9180 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6664, 65sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
6766adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝒫 𝑏 ∈ Fin)
68 ficardom 9958 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑏 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰)
701ackbij1lem10 10226 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
7170ffvelcdmi 7084 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
7248, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
73 nnasuc 8608 . . . . . . 7 (((cardβ€˜π’« 𝑏) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7469, 72, 73syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)) = suc ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o (πΉβ€˜π‘)))
7563, 74eqtr4d 2773 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ suc (πΉβ€˜suc 𝑏) = ((cardβ€˜π’« 𝑏) +o suc (πΉβ€˜π‘)))
7639, 41, 753eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏))
7776ex 411 . . 3 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ((cardβ€˜π’« 𝑏) = suc (πΉβ€˜π‘) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝑏) = suc (πΉβ€˜suc 𝑏)))
788, 14, 20, 26, 37, 77finds 7891 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) = suc (πΉβ€˜π΄))
792, 78eqtrd 2770 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  Ord word 6362  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  1oc1o 8461   +o coa 8465  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10231  ackbij1lem18  10234  ackbij1b  10236
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