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Theorem ackbij1lem16 10232
Description: Lemma for ackbij1 10235. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem16 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΅) β†’ 𝐴 = 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem16
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4227 . . . . . . . . 9 (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) βŠ† 𝒫 Ο‰
21sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 Ο‰)
32elpwid 4610 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
51sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 Ο‰)
65elpwid 4610 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
76adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
84, 7unssd 4185 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† Ο‰)
9 inss2 4228 . . . . . . 7 (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) βŠ† Fin
109sseli 3977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
119sseli 3977 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
12 unfi 9174 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Fin)
1310, 11, 12syl2an 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Fin)
14 nnunifi 9296 . . . . 5 (((𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† Ο‰ ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Fin) β†’ βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰)
158, 13, 14syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰)
16 peano2 7883 . . . 4 (βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰ β†’ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰)
18 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐴 ∩ βˆ…))
1918fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ βˆ…)))
20 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐡 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ βˆ…))
2120fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ βˆ…)))
2219, 21eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ βˆ…)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ βˆ…))))
2318, 20eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž) ↔ (𝐴 ∩ βˆ…) = (𝐡 ∩ βˆ…)))
2422, 23imbi12d 343 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ βˆ…)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ βˆ…)) β†’ (𝐴 ∩ βˆ…) = (𝐡 ∩ βˆ…))))
2524imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ βˆ…)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ βˆ…)) β†’ (𝐴 ∩ βˆ…) = (𝐡 ∩ βˆ…)))))
26 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐴 ∩ 𝑏))
2726fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)))
28 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐡 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ 𝑏))
2928fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)))
3027, 29eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
3126, 28eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž) ↔ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)))
3230, 31imbi12d 343 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏))))
3332imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)))))
34 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐴 ∩ suc 𝑏))
3534fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
36 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (𝐡 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ suc 𝑏))
3736fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
3835, 37eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))))
3934, 36eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ ((𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž) ↔ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
4038, 39imbi12d 343 . . . . 5 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏))))
4140imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = suc 𝑏 β†’ (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
42 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
4342fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
44 ineq2 4205 . . . . . . . 8 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐡 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
4544fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
4643, 45eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
4742, 44eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž) ↔ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
4846, 47imbi12d 343 . . . . 5 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž)) ↔ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
4948imbi2d 339 . . . 4 (π‘Ž = suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) β†’ (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∩ π‘Ž) = (𝐡 ∩ π‘Ž))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))))
50 in0 4390 . . . . . 6 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
51 in0 4390 . . . . . 6 (𝐡 ∩ βˆ…) = βˆ…
5250, 51eqtr4i 2761 . . . . 5 (𝐴 ∩ βˆ…) = (𝐡 ∩ βˆ…)
53522a1i 12 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ βˆ…)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ βˆ…)) β†’ (𝐴 ∩ βˆ…) = (𝐡 ∩ βˆ…)))
54 simp13 1203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
55 3simpa 1146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))))
56 ackbij1lem2 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏)))
5756fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏))))
58573ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏))))
59 ackbij1lem4 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ {𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
61 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
62 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ 𝑏) βŠ† 𝐴
63 ackbij.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6463ackbij1lem11 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
6561, 62, 64sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
66 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐴 ∩ 𝑏)) = ((𝐴 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏})
67 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ 𝑏) βŠ† 𝑏
68 nnord 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑏)
69 orddisj 6401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Ord 𝑏 β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…)
72 ssdisj 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∩ 𝑏) βŠ† 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏}) = βˆ…)
7367, 71, 72sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏}) = βˆ…)
7466, 73eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ ({𝑏} ∩ (𝐴 ∩ 𝑏)) = βˆ…)
7563ackbij1lem9 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐴 ∩ 𝑏)) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))))
7660, 65, 74, 75syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))))
77763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))))
7858, 77eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))))
7955, 78syl3an1 1161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))))
80 ackbij1lem2 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏)))
8180fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏))))
82813ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏))))
83 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
84 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡
8563ackbij1lem11 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ 𝑏) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
8683, 84, 85sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (𝐡 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
87 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐡 ∩ 𝑏)) = ((𝐡 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏})
88 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∩ 𝑏) βŠ† 𝑏
89 ssdisj 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐡 ∩ 𝑏) βŠ† 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = βˆ…) β†’ ((𝐡 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏}) = βˆ…)
9088, 71, 89sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ ((𝐡 ∩ 𝑏) ∩ {𝑏}) = βˆ…)
9187, 90eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ ({𝑏} ∩ (𝐡 ∩ 𝑏)) = βˆ…)
9263ackbij1lem9 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐡 ∩ 𝑏)) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
9360, 86, 91, 92syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
94933ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
9582, 94eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
9655, 95syl3an1 1161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
9754, 79, 963eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
9863ackbij1lem10 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
9998ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑏} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) ∈ Ο‰)
10060, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (πΉβ€˜{𝑏}) ∈ Ο‰)
10198ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰)
10398ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 ∩ 𝑏) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰)
10486, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰)
105 nnacan 8630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜{𝑏}) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) ∈ Ο‰) β†’ (((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
106100, 102, 104, 105syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))) β†’ (((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
1071063adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
1081073ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏))) = ((πΉβ€˜{𝑏}) +o (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
10997, 108mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)))
110 uneq2 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏) β†’ ({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏)) = ({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏)))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ ({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏)) = ({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏)))
11256ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑏)))
11380ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} βˆͺ (𝐡 ∩ 𝑏)))
114111, 112, 1133eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏))
115114ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1161153adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
117109, 116embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1181173exp 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
119 simp13 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
120119eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
121 simp12r 1285 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
122 simp12l 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
123 simp11 1201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ Ο‰)
124 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
125 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴)
12663ackbij1lem15 10231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
127121, 122, 123, 124, 125, 126syl23anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
128120, 127pm2.21dd 194 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1291283exp 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
130118, 129pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏))))
131 simp13 1203 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
132 simp12l 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
133 simp12r 1285 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
134 simp11 1201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ Ο‰)
135 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
136 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡)
13763ackbij1lem15 10231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
138132, 133, 134, 135, 136, 137syl23anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
139131, 138pm2.21dd 194 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1401393exp 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
141 simp13 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)))
142 ackbij1lem1 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑏))
143142adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑏))
144143fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)))
145 ackbij1lem1 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏))
146145adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏))
147146fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)))
148144, 147eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) ↔ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
149148biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
1501493adant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏))))
151141, 150mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)))
152143, 146eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏) ↔ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)))
153152biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1541533adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
155151, 154embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1561553exp 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
157140, 156pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (Β¬ 𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏))))
158130, 157pm2.61d 179 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏))) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))
1591583exp 1117 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
160159com34 91 . . . . 5 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
161160a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ Ο‰ β†’ (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐡 ∩ 𝑏))) β†’ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑏)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐡 ∩ suc 𝑏)))))
16225, 33, 41, 49, 53, 161finds 7891 . . 3 (suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
16317, 162mpcom 38 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
164 omsson 7861 . . . . . . . 8 Ο‰ βŠ† On
1658, 164sstrdi 3993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† On)
166 onsucuni 7818 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† On β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
167165, 166syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
168167unssad 4186 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ 𝐴 βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
169 df-ss 3964 . . . . 5 (𝐴 βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = 𝐴)
170168, 169sylib 217 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = 𝐴)
171170fveq2d 6894 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜π΄))
172167unssbd 4187 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ 𝐡 βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
173 df-ss 3964 . . . . 5 (𝐡 βŠ† suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ↔ (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = 𝐡)
174172, 173sylib 217 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = 𝐡)
175174fveq2d 6894 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜π΅))
176171, 175eqeq12d 2746 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) ↔ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΅)))
177170, 174eqeq12d 2746 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝐴 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (𝐡 ∩ suc βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ↔ 𝐴 = 𝐡))
178163, 176, 1773imtr3d 292 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΅) β†’ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   +o coa 8465  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
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