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Theorem ackbij1lem16 9646
Description: Lemma for ackbij1 9649. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem16 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹𝐴) = (𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem16
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4155 . . . . . . . . 9 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
21sseli 3911 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
32elpwid 4508 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐴 ⊆ ω)
51sseli 3911 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
65elpwid 4508 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ ω)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
84, 7unssd 4113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
9 inss2 4156 . . . . . . 7 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
109sseli 3911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
119sseli 3911 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
12 unfi 8769 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
1310, 11, 12syl2an 598 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
14 nnunifi 8753 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⊆ ω ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ ω)
158, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ ω)
16 peano2 7582 . . . 4 ( (𝐴𝐵) ∈ ω → suc (𝐴𝐵) ∈ ω)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → suc (𝐴𝐵) ∈ ω)
18 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ ∅))
1918fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)))
20 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ ∅))
2120fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)))
2219, 21eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅))))
2318, 20eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))
2422, 23imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅))))
2524imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))))
26 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
2726fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴𝑏)))
28 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
2928fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
3027, 29eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
3126, 28eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))
3230, 31imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏))))
3332imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))))
34 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ suc 𝑏))
3534fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
36 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))
3736fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
3835, 37eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))))
3934, 36eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
4038, 39imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = suc 𝑏 → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
4140imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = suc 𝑏 → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
42 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)))
4342fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))))
44 ineq2 4133 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))
4544fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
4643, 45eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
4742, 44eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
4846, 47imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
4948imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))))
50 in0 4299 . . . . . 6 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
51 in0 4299 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
5250, 51eqtr4i 2824 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)
53522a1i 12 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))
54 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
55 3simpa 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))))
56 ackbij1lem2 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)))
5756fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐴 → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))))
58573ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))))
59 ackbij1lem4 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ω → {𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
6059adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → {𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
61 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
62 inss1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝑏) ⊆ 𝐴
63 ackbij.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
6463ackbij1lem11 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴𝑏) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
6561, 62, 64sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
66 incom 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏})
67 inss2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝑏) ⊆ 𝑏
68 nnord 7568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
69 orddisj 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Ord 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
72 ssdisj 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑏) ⊆ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅) → ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
7367, 71, 72sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
7466, 73syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ∅)
7563ackbij1lem9 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ∅) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7660, 65, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))))
77763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7858, 77eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7955, 78syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))))
80 ackbij1lem2 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
8180fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵 → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))))
82813ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))))
83 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
84 inss1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑏) ⊆ 𝐵
8563ackbij1lem11 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝑏) ⊆ 𝐵) → (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8683, 84, 85sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
87 incom 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏})
88 inss2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵𝑏) ⊆ 𝑏
89 ssdisj 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵𝑏) ⊆ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅) → ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
9088, 71, 89sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
9187, 90syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ∅)
9263ackbij1lem9 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ∅) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9360, 86, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
94933ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9582, 94eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9655, 95syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9754, 79, 963eqtr3d 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9863ackbij1lem10 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
9998ffvelrni 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘{𝑏}) ∈ ω)
10060, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘{𝑏}) ∈ ω)
10198ffvelrni 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω)
10398ffvelrni 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω)
10486, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω)
105 nnacan 8237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹‘{𝑏}) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω) → (((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
106100, 102, 104, 105syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1071063adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1081073ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +o (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
10997, 108mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
110 uneq2 4084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
11256ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)))
11380ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
114111, 112, 1133eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))
115114ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1161153adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
117109, 116embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1181173exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐴 → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
119 simp13 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
120119eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
121 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
122 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
123 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ω)
124 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
125 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ¬ 𝑏𝐴)
12663ackbij1lem15 9645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑏𝐵 ∧ ¬ 𝑏𝐴)) → ¬ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
127121, 122, 123, 124, 125, 126syl23anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ¬ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
128120, 127pm2.21dd 198 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1291283exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐴 → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
130118, 129pm2.61d 182 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
131 simp13 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
132 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
133 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
134 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ω)
135 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐴)
136 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ¬ 𝑏𝐵)
13763ackbij1lem15 9645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
138132, 133, 134, 135, 136, 137syl23anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
139131, 138pm2.21dd 198 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1401393exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐴 → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
141 simp13 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
142 ackbij1lem1 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴𝑏))
143142adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴𝑏))
144143fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴𝑏)))
145 ackbij1lem1 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = (𝐵𝑏))
146145adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = (𝐵𝑏))
147146fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
148144, 147eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
149148biimpd 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1501493adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
151141, 150mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
152143, 146eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏) ↔ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))
153152biimprd 251 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1541533adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
155151, 154embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1561553exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐴 → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
157140, 156pm2.61d 182 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
158130, 157pm2.61d 182 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1591583exp 1116 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
160159com34 91 . . . . 5 (𝑏 ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
161160a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ω → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏))) → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
16225, 33, 41, 49, 53, 161finds 7589 . . 3 (suc (𝐴𝐵) ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
16317, 162mpcom 38 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
164 omsson 7564 . . . . . . . 8 ω ⊆ On
1658, 164sstrdi 3927 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ On)
166 onsucuni 7523 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ⊆ On → (𝐴𝐵) ⊆ suc (𝐴𝐵))
167165, 166syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ suc (𝐴𝐵))
168167unssad 4114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐴 ⊆ suc (𝐴𝐵))
169 df-ss 3898 . . . . 5 (𝐴 ⊆ suc (𝐴𝐵) ↔ (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐴)
170168, 169sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐴)
171170fveq2d 6649 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹𝐴))
172167unssbd 4115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ suc (𝐴𝐵))
173 df-ss 3898 . . . . 5 (𝐵 ⊆ suc (𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐵)
174172, 173sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐵)
175174fveq2d 6649 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹𝐵))
176171, 175eqeq12d 2814 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) ↔ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐵)))
177170, 174eqeq12d 2814 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
178163, 176, 1773imtr3d 296 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹𝐴) = (𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  cun 3879  cin 3880  wss 3881  c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   cuni 4800   ciun 4881  cmpt 5110   × cxp 5517  Ord word 6158  Oncon0 6159  suc csuc 6161  cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560   +o coa 8082  Fincfn 8492  cardccrd 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352
This theorem is referenced by:  ackbij1lem17  9647
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