MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfi 9209
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) Avoid ax-pow 5370. (Revised by BTernaryTau, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
unfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 4171 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∪ ∅))
21eleq1d 2823 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin))
32imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑥) ∈ Fin) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)))
4 uneq2 4171 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
54eleq1d 2823 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑥) ∈ Fin) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑦) ∈ Fin)))
7 uneq2 4171 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})))
87eleq1d 2823 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑥) ∈ Fin) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
10 uneq2 4171 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
1110eleq1d 2823 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑥) ∈ Fin) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)))
13 un0 4399 . . . . 5 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1413eleq1i 2829 . . . 4 ((𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
1514biimpri 228 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ ∅) ∈ Fin)
16 snssi 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
17 ssequn2 4198 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
1817biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
1918uneq2d 4177 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ (𝐴 ∪ {𝑧})) = (𝑦𝐴))
20 un12 4182 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑦 ∪ (𝐴 ∪ {𝑧}))
21 uncom 4167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑦) = (𝑦𝐴)
2219, 20, 213eqtr4g 2799 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝐴𝑦))
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝐴𝑦))
2423eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
2524biimprd 248 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝐴𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
2625adantld 490 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
27 isfi 9014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑦) ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝐴𝑦) ≈ 𝑤)
2827biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑦) ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (𝐴𝑦) ≈ 𝑤)
29 r19.41v 3186 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ ω ((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ ω (𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
30 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑦) ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
31 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
3231notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ ¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
33 pm4.56 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ↔ ¬ (𝑧𝐴𝑧𝑦))
3432, 33bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
3530, 34sylbbr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝐴𝑦) ∩ {𝑧}) = ∅)
36 nnord 7894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
37 orddisj 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑤 → (𝑤 ∩ {𝑤}) = ∅)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ∩ {𝑤}) = ∅)
39 en2sn 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → {𝑧} ≈ {𝑤})
4039el2v 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑧} ≈ {𝑤}
41 unen 9084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ {𝑧} ≈ {𝑤}) ∧ (((𝐴𝑦) ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑤 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
4240, 41mpanl2 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (((𝐴𝑦) ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑤 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
4338, 42sylanr2 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (((𝐴𝑦) ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ ω)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
4435, 43sylanr1 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ ((¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ω)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
45443impb 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
46453comr 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ (𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
47463expb 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤}))
48 unass 4181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
49 df-suc 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 suc 𝑤 = (𝑤 ∪ {𝑤})
50 peano2 7912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ω → suc 𝑤 ∈ ω)
5149, 50eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ∪ {𝑤}) ∈ ω)
52 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑤 ∪ {𝑤}) → (((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ 𝑣 ↔ ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤})))
5352rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∪ {𝑤}) ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤})) → ∃𝑣 ∈ ω ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ 𝑣)
5451, 53sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤})) → ∃𝑣 ∈ ω ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ 𝑣)
55 isfi 9014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin ↔ ∃𝑣 ∈ ω ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ 𝑣)
5654, 55sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤})) → ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
5748, 56eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ∪ {𝑧}) ≈ (𝑤 ∪ {𝑤})) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
5847, 57syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ω ∧ ((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
5958rexlimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ ω ((𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
6029, 59sylbir 235 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑤 ∈ ω (𝐴𝑦) ≈ 𝑤 ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
6128, 60sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ (¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
6261ancoms 458 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
6362expl 457 . . . . . . 7 𝑧𝐴 → ((¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
6426, 63pm2.61i 182 . . . . . 6 ((¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
6564ex 412 . . . . 5 𝑧𝑦 → ((𝐴𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
6665imim2d 57 . . . 4 𝑧𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
6766adantl 481 . . 3 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
683, 6, 9, 12, 15, 67findcard2s 9203 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
6968impcom 407 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  Vcvv 3477  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  Ord word 6384  suc csuc 6387  ωcom 7886  cen 8980  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-en 8984  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  unfid  9210  ssfi  9211  cnvfi  9214  fnfi  9215  unfib  9344  unfi2  9345  difinf  9346  imafiOLD  9351  pwfilem  9353  xpfi  9355  xpfiOLD  9356  prfiALT  9361  tpfi  9362  fodomfir  9365  iunfi  9380  fsuppun  9424  fsuppunfi  9425  ressuppfi  9432  fiin  9459  cantnfp1lem1  9715  ficardadju  10237  ficardun2  10239  ackbij1lem6  10261  ackbij1lem16  10271  fin23lem28  10377  fin23lem30  10379  isfin1-3  10423  axcclem  10494  hashun  14417  hashunlei  14460  hashmap  14470  hashbclem  14487  hashf1lem2  14491  hashf1  14492  hash7g  14521  s7f1o  15001  fsumsplitsn  15776  fsummsnunz  15786  fsumsplitsnun  15787  incexclem  15868  isumltss  15880  fprodsplitsn  16021  lcmfunsnlem2lem1  16671  lcmfunsnlem2lem2  16672  lcmfunsnlem2  16673  lcmfun  16678  ramub1lem1  17059  fpwipodrs  18597  acsfiindd  18610  mndpsuppfi  18791  symgfisg  19500  gsumzunsnd  19988  gsumunsnfd  19989  dsmmacl  21778  mplsubg  22039  mpllss  22040  fctop  23026  uncmp  23426  bwth  23433  lfinun  23548  locfincmp  23549  comppfsc  23555  1stckgenlem  23576  ptbasin  23600  cfinfil  23916  fin1aufil  23955  alexsubALTlem3  24072  tmdgsum  24118  tsmsfbas  24151  tsmsgsum  24162  tsmsres  24167  tsmsxplem1  24176  prdsmet  24395  prdsbl  24519  icccmplem2  24858  rrxmval  25452  rrxmet  25455  rrxdstprj1  25456  ovolfiniun  25549  volfiniun  25595  fta1glem2  26222  fta1lem  26363  aannenlem2  26385  aalioulem2  26389  dchrfi  27313  usgrfilem  29358  ffsrn  32746  eulerpartlemt  34352  ballotlemgun  34505  hgt750lemb  34649  hgt750leme  34651  lindsenlbs  37601  poimirlem31  37637  poimirlem32  37638  itg2addnclem2  37658  ftc1anclem7  37685  ftc1anc  37687  prdsbnd  37779  pclfinN  39882  elrfi  42681  mzpcompact2lem  42738  eldioph2  42749  lsmfgcl  43062  fiuneneq  43180  dvmptfprodlem  45899  dvnprodlem2  45902  fourierdlem50  46111  fourierdlem51  46112  fourierdlem54  46115  fourierdlem76  46137  fourierdlem80  46141  fourierdlem102  46163  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem114  46175  sge0resplit  46361  sge0iunmptlemfi  46368  sge0xaddlem1  46388  hoiprodp1  46543  sge0hsphoire  46544  hoidmvlelem1  46550  hoidmvlelem2  46551  hoidmvlelem5  46554  hspmbllem2  46582  fsummmodsnunz  47299
  Copyright terms: Public domain W3C validator