MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem5 10168
Description: Lemma for ackbij2 10187. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))

Proof of Theorem ackbij1lem5
StepHypRef Expression
1 peano2 7831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝐴 ∈ Ο‰)
2 pw2eng 9028 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴))
4 df-suc 6327 . . . . . . . . . 10 suc 𝐴 = (𝐴 βˆͺ {𝐴})
54oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 (2o ↑m suc 𝐴) = (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴}))
6 elex 3465 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
7 snex 5392 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ {𝐴} ∈ V)
9 2onn 8592 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ Ο‰
109elexi 3466 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ V)
12 nnord 7814 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝐴)
13 orddisj 6359 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…)
15 mapunen 9096 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V ∧ 2o ∈ V) ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…) β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})))
166, 8, 11, 14, 15syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})))
17 ovex 7394 . . . . . . . . . . . 12 (2o ↑m 𝐴) ∈ V
1817enref 8931 . . . . . . . . . . 11 (2o ↑m 𝐴) β‰ˆ (2o ↑m 𝐴)
19 2on 8430 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ On)
21 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ Ο‰)
2220, 21mapsnend 8986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m {𝐴}) β‰ˆ 2o)
23 xpen 9090 . . . . . . . . . . 11 (((2o ↑m 𝐴) β‰ˆ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m {𝐴}) β‰ˆ 2o) β†’ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2418, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
25 entr 8952 . . . . . . . . . 10 (((2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) ∧ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o)) β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2616, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
275, 26eqbrtrid 5144 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2817, 10xpcomen 9013 . . . . . . . 8 ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴))
29 entr 8952 . . . . . . . 8 (((2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) ∧ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴))) β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3110enref 8931 . . . . . . . . 9 2o β‰ˆ 2o
32 pw2eng 9028 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m 𝐴))
33 xpen 9090 . . . . . . . . 9 ((2o β‰ˆ 2o ∧ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m 𝐴)) β†’ (2o Γ— 𝒫 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3431, 32, 33sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o Γ— 𝒫 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3534ensymd 8951 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
36 entr 8952 . . . . . . 7 (((2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) ∧ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴)) β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
3730, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
38 entr 8952 . . . . . 6 ((𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴) ∧ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴)) β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
393, 37, 38syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
40 xp2dju 10120 . . . . 5 (2o Γ— 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴)
4139, 40breqtrdi 5150 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
42 nnfi 9117 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
43 pwfi 9128 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
4442, 43sylib 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
45 ficardid 9906 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
47 djuen 10113 . . . . . 6 (((cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴 ∧ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
4846, 46, 47syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
4948ensymd 8951 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
50 entr 8952 . . . 4 ((𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5141, 49, 50syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
52 carden2b 9911 . . 3 (𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))))
5351, 52syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))))
54 ficardom 9905 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
5544, 54syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
56 nnadju 10141 . . 3 (((cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5755, 55, 56syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5853, 57eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  Ord word 6320  Oncon0 6321  suc csuc 6323  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806  2oc2o 8410   +o coa 8413   ↑m cmap 8771   β‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889   βŠ” cdju 9842  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10177
  Copyright terms: Public domain W3C validator