MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem5 10218
Description: Lemma for ackbij2 10237. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
Proof of Theorem ackbij1lem5
StepHypRef Expression
1 peano2 7880 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝐴 ∈ Ο‰)
2 pw2eng 9077 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴))
4 df-suc 6370 . . . . . . . . . 10 suc 𝐴 = (𝐴 βˆͺ {𝐴})
54oveq2i 7419 . . . . . . . . 9 (2o ↑m suc 𝐴) = (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴}))
6 elex 3492 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
7 snex 5431 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ {𝐴} ∈ V)
9 2onn 8640 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ Ο‰
109elexi 3493 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ V)
12 nnord 7862 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝐴)
13 orddisj 6402 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…)
15 mapunen 9145 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V ∧ 2o ∈ V) ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = βˆ…) β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})))
166, 8, 11, 14, 15syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})))
17 ovex 7441 . . . . . . . . . . . 12 (2o ↑m 𝐴) ∈ V
1817enref 8980 . . . . . . . . . . 11 (2o ↑m 𝐴) β‰ˆ (2o ↑m 𝐴)
19 2on 8479 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ On)
21 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ Ο‰)
2220, 21mapsnend 9035 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m {𝐴}) β‰ˆ 2o)
23 xpen 9139 . . . . . . . . . . 11 (((2o ↑m 𝐴) β‰ˆ (2o ↑m 𝐴) ∧ (2o ↑m {𝐴}) β‰ˆ 2o) β†’ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2418, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
25 entr 9001 . . . . . . . . . 10 (((2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) ∧ ((2o ↑m 𝐴) Γ— (2o ↑m {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o)) β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2616, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m (𝐴 βˆͺ {𝐴})) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
275, 26eqbrtrid 5183 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o))
2817, 10xpcomen 9062 . . . . . . . 8 ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴))
29 entr 9001 . . . . . . . 8 (((2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) ∧ ((2o ↑m 𝐴) Γ— 2o) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴))) β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3110enref 8980 . . . . . . . . 9 2o β‰ˆ 2o
32 pw2eng 9077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m 𝐴))
33 xpen 9139 . . . . . . . . 9 ((2o β‰ˆ 2o ∧ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m 𝐴)) β†’ (2o Γ— 𝒫 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3431, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o Γ— 𝒫 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)))
3534ensymd 9000 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
36 entr 9001 . . . . . . 7 (((2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) ∧ (2o Γ— (2o ↑m 𝐴)) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴)) β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
3730, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
38 entr 9001 . . . . . 6 ((𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o ↑m suc 𝐴) ∧ (2o ↑m suc 𝐴) β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴)) β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
393, 37, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (2o Γ— 𝒫 𝐴))
40 xp2dju 10170 . . . . 5 (2o Γ— 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴)
4139, 40breqtrdi 5189 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
42 nnfi 9166 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
43 pwfi 9177 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
4442, 43sylib 217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
45 ficardid 9956 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
47 djuen 10163 . . . . . 6 (((cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴 ∧ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴) β†’ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
4846, 46, 47syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴))
4948ensymd 9000 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
50 entr 9001 . . . 4 ((𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 βŠ” 𝒫 𝐴) β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5141, 49, 50syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)))
52 carden2b 9961 . . 3 (𝒫 suc 𝐴 β‰ˆ ((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴)) β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))))
5351, 52syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))))
54 ficardom 9955 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
5544, 54syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
56 nnadju 10191 . . 3 (((cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5755, 55, 56syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜π’« 𝐴) βŠ” (cardβ€˜π’« 𝐴))) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5853, 57eqtrd 2772 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« suc 𝐴) = ((cardβ€˜π’« 𝐴) +o (cardβ€˜π’« 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Ο‰com 7854  2oc2o 8459   +o coa 8462   ↑m cmap 8819   β‰ˆ cen 8935  Fincfn 8938   βŠ” cdju 9892  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator