MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phplem2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phplem2OLD 9206
Description: Obsolete lemma for php 9198. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2OLD.1 𝐴 ∈ V
phplem2OLD.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem2OLD ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2OLD
StepHypRef Expression
1 snex 5427 . . . . . 6 {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
2 phplem2OLD.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
3 phplem2OLD.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
42, 3f1osn 6863 . . . . . 6 {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
5 f1oen3g 8950 . . . . . 6 (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
61, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 {𝐵} ≈ {𝐴}
73difexi 5324 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
87enref 8969 . . . . 5 (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
96, 8pm3.2i 472 . . . 4 ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
10 incom 4199 . . . . . 6 ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
11 difss 4129 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
12 ssrin 4231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
14 nnord 7850 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
15 orddisj 6394 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
1713, 16sseqtrid 4032 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
18 ss0 4396 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
2010, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
21 disjdif 4469 . . . . 5 ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
2220, 21jctil 521 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
23 unen 9034 . . . 4 ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
249, 22, 23sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2524adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26 uncom 4151 . . . 4 ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
27 difsnid 4809 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
2826, 27eqtrid 2785 . . 3 (𝐵𝐴 → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
2928adantl 483 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30 phplem1OLD 9205 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
3125, 29, 303brtr3d 5175 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4320  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5144  Ord word 6355  suc csuc 6358  1-1-ontowf1o 6534  ωcom 7842  cen 8924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-suc 6362  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-om 7843  df-en 8928
This theorem is referenced by:  phplem3OLD  9207
  Copyright terms: Public domain W3C validator