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Theorem isinfOLD 9263
Description: Obsolete version of isinf 9262 as of 2-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isinfOLD 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑛

Proof of Theorem isinfOLD
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑥 ≈ ∅))
21anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
32exbidv 1916 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
4 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
54anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑚)))
65exbidv 1916 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚)))
7 sseq1 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
9 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑛𝑦𝑛))
10 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
119, 10sylan9bbr 510 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
128, 11anbi12d 630 . . . . 5 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
1312cbvexdvaw 2034 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14 0ss 4391 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
15 0ex 5300 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1615enref 8983 . . . . . 6 ∅ ≈ ∅
17 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
18 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
1917, 18anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
2015, 19spcev 3590 . . . . . 6 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
2114, 16, 20mp2an 689 . . . . 5 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)
2221a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
23 ssdif0 4358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
24 eqss 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐴𝑥))
25 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚𝐴𝑚))
2625biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → 𝐴𝑚)
27 rspe 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2826, 27sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
29 isfi 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3028, 29sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
3130expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3224, 31sylanbr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝐴𝑥) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐴𝑥) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3423, 33sylan2br 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴𝑥) = ∅) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3534expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴 → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
36353impd 1345 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
3736com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → ((𝐴𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
3837con3d 152 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) = ∅))
39 bren 8951 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚)
40 neq0 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥))
41 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑧𝐴)
4241snssd 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
43 unss 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4443biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4542, 44sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4645ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
47 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧 ∈ V
48 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑚 ∈ V
4947, 48f1osn 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
5049jctr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
51 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → ¬ 𝑧𝑥)
52 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑥)
5351, 52sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 nnord 7860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
55 orddisj 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5753, 56anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
58 f1oun 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
5950, 57, 58syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
60 df-suc 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
61 f1oeq3 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
63 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
64 snex 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
6563, 64unex 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
66 f1oeq1 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
6765, 66spcev 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
68 bren 8951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
6967, 68sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7062, 69sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7271adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
73 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
74 snex 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑧} ∈ V
7573, 74unex 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
76 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
77 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
7876, 77anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
7975, 78spcev 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8046, 72, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8180expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
8281ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8382exlimiv 1925 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8440, 83sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8584com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8685expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8786exlimiv 1925 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8839, 87sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
89883imp21 1111 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
9038, 89syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
91903expia 1118 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9291exlimiv 1925 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9392com3l 89 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
943, 6, 13, 22, 93finds2 7888 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9594com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9695ralrimiv 3139 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  wss 3943  c0 4317  {csn 4623  cop 4629   class class class wbr 5141  Ord word 6357  suc csuc 6360  1-1-ontowf1o 6536  ωcom 7852  cen 8938  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7853  df-en 8942  df-fin 8945
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