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Theorem isinfOLD 9294
Description: Obsolete version of isinf 9293 as of 2-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isinfOLD 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑛

Proof of Theorem isinfOLD
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑥 ≈ ∅))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
32exbidv 1918 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
4 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
54anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑚)))
65exbidv 1918 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚)))
7 sseq1 4020 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
9 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑛𝑦𝑛))
10 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
119, 10sylan9bbr 510 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
128, 11anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
1312cbvexdvaw 2035 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14 0ss 4405 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
15 0ex 5312 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1615enref 9023 . . . . . 6 ∅ ≈ ∅
17 sseq1 4020 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
18 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
1917, 18anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
2015, 19spcev 3605 . . . . . 6 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
2114, 16, 20mp2an 692 . . . . 5 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)
2221a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
23 ssdif0 4371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
24 eqss 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐴𝑥))
25 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚𝐴𝑚))
2625biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → 𝐴𝑚)
27 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2826, 27sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
29 isfi 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3028, 29sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
3130expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3224, 31sylanbr 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝐴𝑥) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐴𝑥) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3423, 33sylan2br 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴𝑥) = ∅) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3534expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴 → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
36353impd 1347 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
3736com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → ((𝐴𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
3837con3d 152 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) = ∅))
39 bren 8993 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚)
40 neq0 4357 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥))
41 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑧𝐴)
4241snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
43 unss 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4443biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4542, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4645ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
47 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧 ∈ V
48 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑚 ∈ V
4947, 48f1osn 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
5049jctr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
51 eldifn 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → ¬ 𝑧𝑥)
52 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑥)
5351, 52sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 nnord 7894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
55 orddisj 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5753, 56anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
58 f1oun 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
5950, 57, 58syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
60 df-suc 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
61 f1oeq3 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
63 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
64 snex 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
6563, 64unex 7762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
66 f1oeq1 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
6765, 66spcev 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
68 bren 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
6967, 68sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7062, 69sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7271adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
73 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
74 snex 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑧} ∈ V
7573, 74unex 7762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
76 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
77 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
7876, 77anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
7975, 78spcev 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8046, 72, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8180expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
8281ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8382exlimiv 1927 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8440, 83sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8584com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8685expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8786exlimiv 1927 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8839, 87sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
89883imp21 1113 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
9038, 89syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
91903expia 1120 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9291exlimiv 1927 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9392com3l 89 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
943, 6, 13, 22, 93finds2 7920 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9594com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9695ralrimiv 3142 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5147  Ord word 6384  suc csuc 6387  1-1-ontowf1o 6561  ωcom 7886  cen 8980  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-om 7887  df-en 8984  df-fin 8987
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