Theorem isinfOLD 9166

Description: Obsolete version of isinf 9165 as of 2-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isinfOLD	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑛

Proof of Theorem isinfOLD

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ≈ 𝑛 ↔ 𝑥 ≈ ∅))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅)))
3	2	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅)))
4		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ≈ 𝑛 ↔ 𝑥 ≈ 𝑚))
5	4	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚)))
6	5	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚)))
7		sseq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
9		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑛 ↔ 𝑦 ≈ 𝑛))
10		breq2 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦 ≈ 𝑛 ↔ 𝑦 ≈ suc 𝑚))
11	9, 10	sylan9bbr 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ≈ 𝑛 ↔ 𝑦 ≈ suc 𝑚))
12	8, 11	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))
13	12	cbvexdvaw 2039	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
15		0ex 5249	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	enref 8917	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≈ ∅
17		sseq1 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
18		breq1 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
20	15, 19	spcev 3563	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅))
21	14, 16, 20	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ ∅))
23		ssdif0 4319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅)
24		eqss 3953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑥))
25		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑚 ↔ 𝐴 ≈ 𝑚))
26	25	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑚)
27		rspe 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
28	26, 27	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
29		isfi 8908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
30	28, 29	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
31	30	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
32	24, 31	sylanbr 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑥) ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ≈ 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
34	23, 33	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑥 ≈ 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
35	34	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
36	35	3impd 1349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
37	36	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
38	37	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅))
39		bren 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚)
40		neq0 4305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥))
41		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	41	snssd 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
43		unss 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
44	43	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
45	42, 44	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
46	45	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
47		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑧 ∈ V
48		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑚 ∈ V
49	47, 48	f1osn 6808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
50	49	jctr 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 → (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
51		eldifn 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)
52		disjsn 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)
53	51, 52	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
54		nnord 7814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
55		orddisj 6349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
57	53, 56	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
58		f1oun 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
59	50, 57, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
60		df-suc 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
61		f1oeq3 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
63		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
64		snex 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
65	63, 64	unex 7684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
66		f1oeq1 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
67	65, 66	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
68		bren 8889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
69	67, 68	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
70	62, 69	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
71	59, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
72	71	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
73		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
74		snex 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑧} ∈ V
75	73, 74	unex 7684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
76		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
77		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
78	76, 77	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
79	75, 78	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))
80	46, 72, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))
81	80	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))
82	81	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
83	82	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
84	40, 83	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
85	84	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
86	85	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
87	86	exlimiv 1930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑚 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
88	39, 87	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑚 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
89	88	3imp21 1113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴 ∖ 𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))
90	38, 89	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚)))
91	90	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
92	91	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
93	92	com3l 89	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ suc 𝑚))))
94	3, 6, 13, 22, 93	finds2 7838	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛)))
95	94	com12 32	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛)))
96	95	ralrimiv 3120	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  Ord word 6310  suc csuc 6313  –1-1-onto→wf1o 6485  ωcom 7806   ≈ cen 8876  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-om 7807  df-en 8880  df-fin 8883

This theorem is referenced by: (None)