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Theorem isinfOLD 9297
Description: Obsolete version of isinf 9296 as of 2-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isinfOLD 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑛

Proof of Theorem isinfOLD
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑥 ≈ ∅))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
32exbidv 1921 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
4 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
54anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑚)))
65exbidv 1921 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚)))
7 sseq1 4009 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
9 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑛𝑦𝑛))
10 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
119, 10sylan9bbr 510 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
128, 11anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
1312cbvexdvaw 2038 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14 0ss 4400 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
15 0ex 5307 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1615enref 9025 . . . . . 6 ∅ ≈ ∅
17 sseq1 4009 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
18 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
1917, 18anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
2015, 19spcev 3606 . . . . . 6 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
2114, 16, 20mp2an 692 . . . . 5 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)
2221a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
23 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
24 eqss 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐴𝑥))
25 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚𝐴𝑚))
2625biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → 𝐴𝑚)
27 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2826, 27sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
29 isfi 9016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3028, 29sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
3130expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3224, 31sylanbr 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝐴𝑥) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐴𝑥) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3423, 33sylan2br 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴𝑥) = ∅) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3534expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴 → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
36353impd 1349 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
3736com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → ((𝐴𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
3837con3d 152 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) = ∅))
39 bren 8995 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚)
40 neq0 4352 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥))
41 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑧𝐴)
4241snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
43 unss 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4443biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4542, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4645ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
47 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧 ∈ V
48 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑚 ∈ V
4947, 48f1osn 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
5049jctr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
51 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → ¬ 𝑧𝑥)
52 disjsn 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑥)
5351, 52sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 nnord 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
55 orddisj 6422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5753, 56anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
58 f1oun 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
5950, 57, 58syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
60 df-suc 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
61 f1oeq3 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
63 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
64 snex 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
6563, 64unex 7764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
66 f1oeq1 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
6765, 66spcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
68 bren 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
6967, 68sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7062, 69sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7271adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
73 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
74 snex 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑧} ∈ V
7573, 74unex 7764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
76 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
77 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
7876, 77anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
7975, 78spcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8046, 72, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8180expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
8281ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8382exlimiv 1930 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8440, 83sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8584com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8685expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8786exlimiv 1930 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8839, 87sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
89883imp21 1114 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
9038, 89syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
91903expia 1122 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9291exlimiv 1930 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9392com3l 89 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
943, 6, 13, 22, 93finds2 7920 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9594com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9695ralrimiv 3145 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  Ord word 6383  suc csuc 6386  1-1-ontowf1o 6560  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
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