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Theorem isinf 8725
Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isinf 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑛

Proof of Theorem isinf
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5063 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑥 ≈ ∅))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
32exbidv 1918 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
4 breq2 5063 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
54anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑚)))
65exbidv 1918 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚)))
7 sseq1 3992 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
87adantl 484 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
9 breq1 5062 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑛𝑦𝑛))
10 breq2 5063 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
119, 10sylan9bbr 513 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
128, 11anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
1312cbvexdvaw 2042 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14 0ss 4350 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
15 0ex 5204 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1615enref 8536 . . . . . 6 ∅ ≈ ∅
17 sseq1 3992 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
18 breq1 5062 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
1917, 18anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
2015, 19spcev 3607 . . . . . 6 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
2114, 16, 20mp2an 690 . . . . 5 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)
2221a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
23 ssdif0 4323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
24 eqss 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐴𝑥))
25 breq1 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚𝐴𝑚))
2625biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → 𝐴𝑚)
27 rspe 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2826, 27sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
29 isfi 8527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3028, 29sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
3130expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3224, 31sylanbr 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝐴𝑥) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3332ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐴𝑥) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3423, 33sylan2br 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴𝑥) = ∅) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3534expcom 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴 → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
36353impd 1344 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
3736com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → ((𝐴𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
3837con3d 155 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) = ∅))
39 bren 8512 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚)
40 neq0 4309 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥))
41 eldifi 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑧𝐴)
4241snssd 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
43 unss 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4443biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4542, 44sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4645ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
47 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧 ∈ V
48 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑚 ∈ V
4947, 48f1osn 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
5049jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
51 eldifn 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → ¬ 𝑧𝑥)
52 disjsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑥)
5351, 52sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 nnord 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
55 orddisj 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5753, 56anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
58 f1oun 6629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
5950, 57, 58syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
60 df-suc 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
61 f1oeq3 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
63 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
64 snex 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
6563, 64unex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
66 f1oeq1 6599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
6765, 66spcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
68 bren 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
6967, 68sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7062, 69sylbir 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7159, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7271adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
73 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
74 snex 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑧} ∈ V
7573, 74unex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
76 sseq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
77 breq1 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
7876, 77anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
7975, 78spcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8046, 72, 79syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8180expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
8281ex 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8382exlimiv 1927 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8440, 83sylbi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8584com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8685expcom 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8786exlimiv 1927 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8839, 87sylbi 219 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
89883imp21 1110 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
9038, 89syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
91903expia 1117 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9291exlimiv 1927 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9392com3l 89 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
943, 6, 13, 22, 93finds2 7604 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9594com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9695ralrimiv 3181 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  cdif 3933  cun 3934  cin 3935  wss 3936  c0 4291  {csn 4561  cop 4567   class class class wbr 5059  Ord word 6185  suc csuc 6188  1-1-ontowf1o 6349  ωcom 7574  cen 8500  Fincfn 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-om 7575  df-en 8504  df-fin 8507
This theorem is referenced by:  fineqvlem  8726  isinffi  9415  domtriomlem  9858  ishashinf  13815  ctbssinf  34681
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