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Theorem isinf 9260
Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5364. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
isinf 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem isinf
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑥 ≈ ∅))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
32exbidv 1925 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)))
4 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
54anbi2d 630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑚)))
65exbidv 1925 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚)))
7 sseq1 4008 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
87adantl 483 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
9 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑛𝑦𝑛))
10 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑦𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
119, 10sylan9bbr 512 . . . . . 6 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑛𝑦 ≈ suc 𝑚))
128, 11anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑛 = suc 𝑚𝑥 = 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
1312cbvexdvaw 2043 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
14 0ss 4397 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
15 peano1 7879 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
16 enrefnn 9047 . . . . . . 7 (∅ ∈ ω → ∅ ≈ ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6 ∅ ≈ ∅
18 0ex 5308 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
19 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
20 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
2119, 20anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅)))
2218, 21spcev 3597 . . . . . 6 ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≈ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
2314, 17, 22mp2an 691 . . . . 5 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅)
2423a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ ∅))
25 ssdif0 4364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥 ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
26 eqss 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝐴𝑥))
27 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚𝐴𝑚))
2827biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → 𝐴𝑚)
29 rspe 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3028, 29sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
31 isfi 8972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
3332expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3426, 33sylanbr 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝐴𝑥) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))
3534ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐴𝑥) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3625, 35sylan2br 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴𝑥) = ∅) → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)))
3736expcom 415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑥) = ∅ → (𝑥𝐴 → (𝑥𝑚 → (𝑚 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin))))
38373impd 1349 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) = ∅ → ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
3938com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → ((𝐴𝑥) = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
4039con3d 152 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) = ∅))
41 bren 8949 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑚 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚)
42 neq0 4346 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥))
43 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → 𝑧𝐴)
4443snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
45 unss 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4645biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4744, 46sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑥)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4847ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
49 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧 ∈ V
50 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑚 ∈ V
5149, 50f1osn 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}
5251jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}))
53 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → ¬ 𝑧𝑥)
54 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑥)
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅)
56 nnord 7863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
57 orddisj 6403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑚 → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)
5955, 58anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅))
60 f1oun 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ {⟨𝑧, 𝑚⟩}:{𝑧}–1-1-onto→{𝑚}) ∧ ((𝑥 ∩ {𝑧}) = ∅ ∧ (𝑚 ∩ {𝑚}) = ∅)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
6152, 59, 60syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
62 df-suc 6371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚})
63 f1oeq3 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc 𝑚 = (𝑚 ∪ {𝑚}) → ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚})))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}))
65 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
66 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑧, 𝑚⟩} ∈ V
6765, 66unex 7733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) ∈ V
68 f1oeq1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}) → (𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 ↔ (𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚))
6967, 68spcev 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
70 bren 8949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚 ↔ ∃𝑔 𝑔:(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚)
7169, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→suc 𝑚 → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7264, 71sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∪ {⟨𝑧, 𝑚⟩}):(𝑥 ∪ {𝑧})–1-1-onto→(𝑚 ∪ {𝑚}) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7361, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
7473adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)
75 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
76 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑧} ∈ V
7775, 76unex 7733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∪ {𝑧}) ∈ V
78 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
79 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦 ≈ suc 𝑚 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚))
8078, 79anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚)))
8177, 80spcev 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ≈ suc 𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8248, 74, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))
8382expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑥) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
8483ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8584exlimiv 1934 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴𝑥) → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8642, 85sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → (𝑚 ∈ ω → ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8786com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑓:𝑥1-1-onto𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
8887expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
8988exlimiv 1934 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
9041, 89sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑚 → (𝑥𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))))
91903imp21 1115 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ (𝐴𝑥) = ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
9240, 91syld 47 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝑚𝑚 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚)))
93923expia 1122 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9493exlimiv 1934 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
9594com3l 89 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑚) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦 ≈ suc 𝑚))))
963, 6, 13, 24, 95finds2 7891 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9796com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛)))
9897ralrimiv 3146 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5149  Ord word 6364  suc csuc 6367  1-1-ontowf1o 6543  ωcom 7855  cen 8936  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-om 7856  df-en 8940  df-fin 8943
This theorem is referenced by:  fineqvlem  9262  isinffi  9987  domtriomlem  10437  ishashinf  14424  ctbssinf  36287
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