MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unsnen 10577
Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
unsnen.1 𝐴 ∈ V
unsnen.2 𝐡 ∈ V
Assertion
Ref Expression
unsnen (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ suc (cardβ€˜π΄))

Proof of Theorem unsnen
StepHypRef Expression
1 disjsn 4716 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴)
2 cardon 9968 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) ∈ On
32onordi 6480 . . . . 5 Ord (cardβ€˜π΄)
4 orddisj 6407 . . . . 5 (Ord (cardβ€˜π΄) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…
6 unsnen.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76cardid 10571 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) β‰ˆ 𝐴
87ensymi 9025 . . . . 5 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π΄)
9 unsnen.2 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
10 fvex 6910 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) ∈ V
11 en2sn 9066 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ (cardβ€˜π΄) ∈ V) β†’ {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)})
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)}
13 unen 9071 . . . . 5 (((𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π΄) ∧ {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ∧ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
148, 12, 13mpanl12 701 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ∧ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
155, 14mpan2 690 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
161, 15sylbir 234 . 2 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
17 df-suc 6375 . 2 suc (cardβ€˜π΄) = ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)})
1816, 17breqtrrdi 5190 1 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ suc (cardβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148  Ord word 6368  suc csuc 6371  β€˜cfv 6548   β‰ˆ cen 8961  cardccrd 9959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-ac2 10487
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-er 8725  df-en 8965  df-card 9963  df-ac 10140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator