MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unsnen 10494
Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
unsnen.1 𝐴 ∈ V
unsnen.2 𝐡 ∈ V
Assertion
Ref Expression
unsnen (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ suc (cardβ€˜π΄))

Proof of Theorem unsnen
StepHypRef Expression
1 disjsn 4673 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴)
2 cardon 9885 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) ∈ On
32onordi 6429 . . . . 5 Ord (cardβ€˜π΄)
4 orddisj 6356 . . . . 5 (Ord (cardβ€˜π΄) β†’ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…
6 unsnen.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76cardid 10488 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) β‰ˆ 𝐴
87ensymi 8947 . . . . 5 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π΄)
9 unsnen.2 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
10 fvex 6856 . . . . . 6 (cardβ€˜π΄) ∈ V
11 en2sn 8988 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ (cardβ€˜π΄) ∈ V) β†’ {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)})
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)}
13 unen 8993 . . . . 5 (((𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π΄) ∧ {𝐡} β‰ˆ {(cardβ€˜π΄)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ∧ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
148, 12, 13mpanl12 701 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… ∧ ((cardβ€˜π΄) ∩ {(cardβ€˜π΄)}) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
155, 14mpan2 690 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐡}) = βˆ… β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
161, 15sylbir 234 . 2 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)}))
17 df-suc 6324 . 2 suc (cardβ€˜π΄) = ((cardβ€˜π΄) βˆͺ {(cardβ€˜π΄)})
1816, 17breqtrrdi 5148 1 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β‰ˆ suc (cardβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  Ord word 6317  suc csuc 6320  β€˜cfv 6497   β‰ˆ cen 8883  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-er 8651  df-en 8887  df-card 9880  df-ac 10057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator