Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unsnen 9967
 Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
unsnen.1 𝐴 ∈ V
unsnen.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
unsnen 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen
StepHypRef Expression
1 disjsn 4607 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
2 cardon 9360 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ On
32onordi 6264 . . . . 5 Ord (card‘𝐴)
4 orddisj 6198 . . . . 5 (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6 unsnen.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76cardid 9961 . . . . . 6 (card‘𝐴) ≈ 𝐴
87ensymi 8545 . . . . 5 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9 unsnen.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
10 fvex 6659 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ V
11 en2sn 8579 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13 unen 8582 . . . . 5 (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
148, 12, 13mpanl12 701 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
155, 14mpan2 690 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
161, 15sylbir 238 . 2 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17 df-suc 6166 . 2 suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
1816, 17breqtrrdi 5073 1 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  Ord word 6159  suc csuc 6162  ‘cfv 6325   ≈ cen 8492  cardccrd 9351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-ac2 9877 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-1o 8088  df-er 8275  df-en 8496  df-card 9355  df-ac 9530 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator