Theorem unsnen 10596

Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unsnen.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 4720	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2		cardon 9987	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6487	. . . . 5 ⊢ Ord (card‘𝐴)
4		orddisj 6414	. . . . 5 ⊢ (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6		unsnen.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
7	6	cardid 10590	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ≈ 𝐴
8	7	ensymi 9035	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9		unsnen.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		fvex 6914	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
11		en2sn 9077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13		unen 9084	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 700	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
15	5, 14	mpan2 689	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
16	1, 15	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17		df-suc 6382	. 2 ⊢ suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
18	16, 17	breqtrrdi 5195	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5153  Ord word 6375  suc csuc 6378  ‘cfv 6554   ≈ cen 8971  cardccrd 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-ac2 10506

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-er 8734  df-en 8975  df-card 9982  df-ac 10159

This theorem is referenced by: (None)