Theorem unsnen 10447

Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unsnen.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 4663	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2		cardon 9840	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6420	. . . . 5 ⊢ Ord (card‘𝐴)
4		orddisj 6345	. . . . 5 ⊢ (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6		unsnen.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
7	6	cardid 10441	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ≈ 𝐴
8	7	ensymi 8929	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9		unsnen.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
11		en2sn 8966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13		unen 8971	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 702	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
15	5, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
16	1, 15	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17		df-suc 6313	. 2 ⊢ suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
18	16, 17	breqtrrdi 5134	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  Ord word 6306  suc csuc 6309  ‘cfv 6482   ≈ cen 8869  cardccrd 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-er 8625  df-en 8873  df-card 9835  df-ac 10010

This theorem is referenced by: (None)