MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unsnen 9627
Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
unsnen.1 𝐴 ∈ V
unsnen.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
unsnen 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen
StepHypRef Expression
1 disjsn 4401 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
2 cardon 9020 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ On
32onordi 6011 . . . . 5 Ord (card‘𝐴)
4 orddisj 5945 . . . . 5 (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6 unsnen.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76cardid 9621 . . . . . 6 (card‘𝐴) ≈ 𝐴
87ensymi 8209 . . . . 5 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9 unsnen.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
10 fvex 6387 . . . . . 6 (card‘𝐴) ∈ V
11 en2sn 8243 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
129, 10, 11mp2an 683 . . . . 5 {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13 unen 8246 . . . . 5 (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
148, 12, 13mpanl12 693 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
155, 14mpan2 682 . . 3 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
161, 15sylbir 226 . 2 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17 df-suc 5913 . 2 suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
1816, 17syl6breqr 4850 1 𝐵𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  cun 3729  cin 3730  c0 4078  {csn 4333   class class class wbr 4808  Ord word 5906  suc csuc 5909  cfv 6067  cen 8156  cardccrd 9011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-ac2 9537
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-1o 7763  df-er 7946  df-en 8160  df-card 9015  df-ac 9189
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator