Theorem unsnen 10532

Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unsnen.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 4677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2		cardon 9926	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6474	. . . . 5 ⊢ Ord (card‘𝐴)
4		orddisj 6399	. . . . 5 ⊢ (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6		unsnen.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
7	6	cardid 10526	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ≈ 𝐴
8	7	ensymi 8997	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9		unsnen.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
11		en2sn 9034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13		unen 9038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
15	5, 14	mpan2 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
16	1, 15	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17		df-suc 6366	. 2 ⊢ suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
18	16, 17	breqtrrdi 5153	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  Ord word 6359  suc csuc 6362  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-ac2 10442

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-er 8690  df-en 8940  df-card 9921  df-ac 10096

This theorem is referenced by: (None)