Theorem unsnen 10466

Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unsnen.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 4643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2		cardon 9859	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 6423	. . . . 5 ⊢ Ord (card‘𝐴)
4		orddisj 6348	. . . . 5 ⊢ (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6		unsnen.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
7	6	cardid 10460	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ≈ 𝐴
8	7	ensymi 8941	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9		unsnen.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		fvex 6840	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
11		en2sn 8978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
12	9, 10, 11	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13		unen 8982	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 708	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
15	5, 14	mpan2 697	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
16	1, 15	sylbir 236	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17		df-suc 6316	. 2 ⊢ suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
18	16, 17	breqtrrdi 5114	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  {csn 4555   class class class wbr 5072  Ord word 6309  suc csuc 6312  ‘cfv 6485   ≈ cen 8880  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-er 8633  df-en 8884  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by: (None)