Theorem ordunisssuc 6490

Description: A subclass relationship for union and successor of ordinal classes. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisssuc	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordunisssuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
2		ordsssuc 6473	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
4	3	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
5	4	ralbidva 3176	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵))
6		unissb 4939	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		dfss3 3972	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵)
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390

This theorem is referenced by:  ordsucuniel  7844  onsucuni  7848  isfinite2  9334  rankbnd2  9909  onintunirab  43239