Theorem ordunisssuc 6424

Description: A subclass relationship for union and successor of ordinal classes. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisssuc	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordunisssuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3927	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
2		ordsssuc 6407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
4	3	an32s 653	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
5	4	ralbidva 3156	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵))
6		unissb 4895	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		dfss3 3921	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵)
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4862  Ord word 6315  Oncon0 6316  suc csuc 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322

This theorem is referenced by:  ordsucuniel  7766  onsucuni  7770  isfinite2  9200  rankbnd2  9783  onintunirab  43506