Theorem ordunisssuc 6501

Description: A subclass relationship for union and successor of ordinal classes. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisssuc	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordunisssuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 4003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
2		ordsssuc 6484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
4	3	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
5	4	ralbidva 3182	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵))
6		unissb 4963	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		dfss3 3997	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵)
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  Ord word 6394  Oncon0 6395  suc csuc 6397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401

This theorem is referenced by:  ordsucuniel  7860  onsucuni  7864  isfinite2  9362  rankbnd2  9938  onintunirab  43188