Theorem ordunisssuc 6456

Description: A subclass relationship for union and successor of ordinal classes. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisssuc	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordunisssuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
2		ordsssuc 6439	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
4	3	an32s 662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐵))
5	4	ralbidva 3185	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵))
6		unissb 4901	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝐵)
7		dfss3 3927	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ suc 𝐵)
8	5, 6, 7	3bitr4g 316	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord 𝐵) → (∪ 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4867  Ord word 6347  Oncon0 6348  suc csuc 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354

This theorem is referenced by:  ordsucuniel  7806  onsucuni  7810  isfinite2  9244  rankbnd2  9829  onintunirab  43809