MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsssuc 6458
Description: An ordinal is a subset of another ordinal if and only if it belongs to its successor. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6379 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordsseleq 6398 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
4 elsucg 6437 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
54adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
63, 5bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  Ord word 6368  Oncon0 6369  suc csuc 6371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375
This theorem is referenced by:  onsssuc  6459  ordunisssuc  6475  ordpwsuc  7818  ordsucun  7828  cantnflt  9695  cantnflem1  9712  noetasuplem4  27668  noetainflem4  27672  scutbdaybnd2lim  27749  ordsssucb  42764
  Copyright terms: Public domain W3C validator