MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsssuc 6475
Description: An ordinal is a subset of another ordinal if and only if it belongs to its successor. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6396 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordsseleq 6415 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
4 elsucg 6454 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
54adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
63, 5bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  onsssuc  6476  ordunisssuc  6492  ordpwsuc  7835  ordsucun  7845  cantnflt  9710  cantnflem1  9727  noetasuplem4  27796  noetainflem4  27800  scutbdaybnd2lim  27877  ordsssucb  43325
  Copyright terms: Public domain W3C validator