Theorem ordsssuc 6418

Description: An ordinal is a subset of another ordinal if and only if it belongs to its successor. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6337	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsseleq 6356	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4		elsucg 6397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
6	3, 5	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  Ord word 6326  Oncon0 6327  suc csuc 6329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333

This theorem is referenced by:  onsssuc  6419  ordunisssuc  6435  ordpwsuc  7769  ordsucun  7779  cantnflt  9595  cantnflem1  9612  noetasuplem4  27721  noetainflem4  27725  cutbdaybnd2lim  27810  ordsssucb  43721