Theorem ordsssuc 6454

Description: An ordinal is a subset of another ordinal if and only if it belongs to its successor. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsseleq 6392	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4		elsucg 6433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
6	3, 5	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368

This theorem is used by:  onsssuc  6455  ordunisssuc  6471  ordpwsuc  7826  ordsucun  7836  cantnflt  9673  cantnflem1  9690  noetasuplem4  28093  noetainflem4  28097  cutbdaybnd2lim  28183  ordsssucb  44337