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Theorem isfinite2 9298
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8943 . . 3 Rel ≺
21brrelex2i 5732 . 2 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3 sdomdom 8973 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4 domeng 8955 . . . 4 (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
53, 4imbitrid 243 . . 3 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
6 ensym 8996 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑦𝑦𝐴)
76ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦𝐴)
8 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9 ensdomtr 9110 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
107, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11 sdomnen 8974 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14 unbnn 9296 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15143expia 1122 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
162, 13, 15syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
1712, 16mtod 197 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
18 rexnal 3101 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
19 omsson 7856 . . . . . . . . . . . . 13 ω ⊆ On
20 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
2119, 20mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22 nnord 7860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ V
2524elon 6371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
2623, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → Ord 𝑤)
27 ordtri1 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2928an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤𝑦) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
3029ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤𝑦 𝑤𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤))
31 unissb 4943 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 𝑤𝑧)
32 ralnex 3073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
3332bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤)
3430, 31, 333bitr4g 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤))
35 ordunisssuc 6468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3634, 35bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3721, 22, 36syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38 peano2b 7869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39 ssnnfi 9166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4038, 39sylanb 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4140ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4337, 42sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4443rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4518, 44biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4645ad2antll 728 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4717, 46mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴𝑦)
49 enfii 9186 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
5047, 48, 49syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
5150ex 414 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
5251exlimdv 1937 . . 3 (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
535, 52sylcom 30 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
542, 53mpcom 38 1 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3948   cuni 4908   class class class wbr 5148  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364  ωcom 7852  cen 8933  cdom 8934  csdm 8935  Fincfn 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940
This theorem is referenced by:  isfiniteg  9301  unfi2  9312  unifi2  9339  axcclem  10449  dirith2  27021  padct  31932  volmeas  33218  axccdom  43907  axccd2  43915
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