Theorem isfinite2 9210

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8902	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5689	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3		sdomdom 8929	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4		domeng 8911	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
5	3, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
6		ensym 8952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝐴)
7	6	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≈ 𝐴)
8		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9		ensdomtr 9053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11		sdomnen 8930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14		unbnn 9208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15	14	3expia 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
16	2, 13, 15	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
17	12, 16	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
18		rexnal 3090	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
19		omsson 7822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ⊆ On
20		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
21	19, 20	mpan2 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22		nnord 7826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23		ssel2 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑤 ∈ V
25	24	elon 6334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
26	23, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → Ord 𝑤)
27		ordtri1 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
28	26, 27	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
29	28	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
30	29	ralbidva 3159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
31		unissb 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧)
32		ralnex 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
33	32	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤)
34	30, 31, 33	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤))
35		ordunisssuc 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
36	34, 35	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
37	21, 22, 36	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38		peano2b 7835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39		ssnnfi 9106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
40	38, 39	sylanb 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
43	37, 42	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
44	43	rexlimdva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
45	18, 44	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
46	45	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≈ 𝑦)
49		enfii 9122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 48, 49	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
52	51	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
53	5, 52	sylcom 30	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
54	2, 53	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  Ord word 6324  Oncon0 6325  suc csuc 6327  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  isfiniteg  9212  unfi2  9222  unifi2  9257  axcclem  10379  dirith2  27507  padct  32807  volmeas  34408  axccdom  45577  axccd2  45585