Theorem isfinite2 9283

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8973	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5708	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3		sdomdom 9000	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4		domeng 8982	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
5	3, 4	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
6		ensym 9023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝐴)
7	6	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≈ 𝐴)
8		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9		ensdomtr 9125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11		sdomnen 9001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14		unbnn 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15	14	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
16	2, 13, 15	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
17	12, 16	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
18		rexnal 3115	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
19		omsson 7879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ⊆ On
20		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
21	19, 20	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22		nnord 7883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑤 ∈ V
25	24	elon 6370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
26	23, 25	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → Ord 𝑤)
27		ordtri1 6395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
28	26, 27	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
29	28	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
30	29	ralbidva 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
31		unissb 4901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧)
32		ralnex 3089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
33	32	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤)
34	30, 31, 33	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤))
35		ordunisssuc 6470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
36	34, 35	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
37	21, 22, 36	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38		peano2b 7892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39		ssnnfi 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
40	38, 39	sylanb 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
41	40	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
43	37, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
44	43	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
45	18, 44	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
46	45	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
47	17, 46	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≈ 𝑦)
49		enfii 9194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 48, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
51	50	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
52	51	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
53	5, 52	sylcom 31	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
54	2, 53	mpcom 39	1 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ωcom 7875   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970

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