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Theorem isfinite2 9303
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8948 . . 3 Rel ≺
21brrelex2i 5733 . 2 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3 sdomdom 8978 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4 domeng 8960 . . . 4 (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
53, 4imbitrid 243 . . 3 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
6 ensym 9001 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑦𝑦𝐴)
76ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦𝐴)
8 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9 ensdomtr 9115 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11 sdomnen 8979 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14 unbnn 9301 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15143expia 1121 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
162, 13, 15syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
1712, 16mtod 197 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
18 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
19 omsson 7861 . . . . . . . . . . . . 13 ω ⊆ On
20 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
2119, 20mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22 nnord 7865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ V
2524elon 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
2623, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → Ord 𝑤)
27 ordtri1 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2826, 27sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2928an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤𝑦) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
3029ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤𝑦 𝑤𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤))
31 unissb 4943 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 𝑤𝑧)
32 ralnex 3072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
3332bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤)
3430, 31, 333bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤))
35 ordunisssuc 6470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3634, 35bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3721, 22, 36syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38 peano2b 7874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39 ssnnfi 9171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4038, 39sylanb 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4140ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4337, 42sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4443rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4518, 44biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4645ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4717, 46mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48 simprl 769 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴𝑦)
49 enfii 9191 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
5150ex 413 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
5251exlimdv 1936 . . 3 (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
535, 52sylcom 30 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
542, 53mpcom 38 1 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3948   cuni 4908   class class class wbr 5148  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ωcom 7857  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945
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