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Theorem isfinite2 9334
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8992 . . 3 Rel ≺
21brrelex2i 5742 . 2 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3 sdomdom 9020 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4 domeng 9003 . . . 4 (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
53, 4imbitrid 244 . . 3 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
6 ensym 9043 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑦𝑦𝐴)
76ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦𝐴)
8 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9 ensdomtr 9153 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11 sdomnen 9021 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14 unbnn 9332 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15143expia 1122 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
162, 13, 15syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
1712, 16mtod 198 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
18 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
19 omsson 7891 . . . . . . . . . . . . 13 ω ⊆ On
20 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
2119, 20mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22 nnord 7895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ V
2524elon 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
2623, 25sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → Ord 𝑤)
27 ordtri1 6417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2826, 27sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2928an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤𝑦) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
3029ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤𝑦 𝑤𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤))
31 unissb 4939 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 𝑤𝑧)
32 ralnex 3072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
3332bicomi 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤)
3430, 31, 333bitr4g 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤))
35 ordunisssuc 6490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3634, 35bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3721, 22, 36syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38 peano2b 7904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39 ssnnfi 9209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4038, 39sylanb 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4140ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4337, 42sylbid 240 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4443rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4518, 44biimtrrid 243 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4645ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4717, 46mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48 simprl 771 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴𝑦)
49 enfii 9226 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
5150ex 412 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
5251exlimdv 1933 . . 3 (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
535, 52sylcom 30 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
542, 53mpcom 38 1 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989
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