Theorem isfinite2 9331

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8990	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5745	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3		sdomdom 9018	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4		domeng 9001	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
5	3, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
6		ensym 9041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝐴)
7	6	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≈ 𝐴)
8		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9		ensdomtr 9151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11		sdomnen 9019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14		unbnn 9329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15	14	3expia 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
16	2, 13, 15	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
17	12, 16	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
18		rexnal 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
19		omsson 7890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ⊆ On
20		sstr 4003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
21	19, 20	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22		nnord 7894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23		ssel2 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑤 ∈ V
25	24	elon 6394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
26	23, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → Ord 𝑤)
27		ordtri1 6418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
29	28	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
30	29	ralbidva 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
31		unissb 4943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧)
32		ralnex 3069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
33	32	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤)
34	30, 31, 33	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤))
35		ordunisssuc 6491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
36	34, 35	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
37	21, 22, 36	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38		peano2b 7903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39		ssnnfi 9207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
40	38, 39	sylanb 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
43	37, 42	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
44	43	rexlimdva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
45	18, 44	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
46	45	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≈ 𝑦)
49		enfii 9223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 48, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
52	51	exlimdv 1930	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
53	5, 52	sylcom 30	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
54	2, 53	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911   class class class wbr 5147  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  ωcom 7886   ≈ cen 8980   ≼ cdom 8981   ≺ csdm 8982  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987

This theorem is referenced by:  isfiniteg  9334  unfi2  9345  unifi2  9382  axcclem  10494  dirith2  27586  padct  32736  volmeas  34211  axccdom  45164  axccd2  45172