Theorem isfinite2 9326

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 9016	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5713	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3		sdomdom 9043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4		domeng 9025	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
5	3, 4	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
6		ensym 9066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝐴)
7	6	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≈ 𝐴)
8		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9		ensdomtr 9168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11		sdomnen 9044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14		unbnn 9324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15	14	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
16	2, 13, 15	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
17	12, 16	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
18		rexnal 3118	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
19		omsson 7913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ⊆ On
20		sstr 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
21	19, 20	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22		nnord 7917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑤 ∈ V
25	24	elon 6395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
26	23, 25	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → Ord 𝑤)
27		ordtri1 6420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
28	26, 27	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
29	28	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
30	29	ralbidva 3187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
31		unissb 4904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧)
32		ralnex 3092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
33	32	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤)
34	30, 31, 33	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤))
35		ordunisssuc 6495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
36	34, 35	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
37	21, 22, 36	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38		peano2b 7926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39		ssnnfi 9221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
40	38, 39	sylanb 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
41	40	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
43	37, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
44	43	rexlimdva 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
45	18, 44	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
46	45	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
47	17, 46	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≈ 𝑦)
49		enfii 9237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 48, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
51	50	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
52	51	exlimdv 1968	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
53	5, 52	sylcom 31	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
54	2, 53	mpcom 39	1 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  ωcom 7909   ≈ cen 9006   ≼ cdom 9007   ≺ csdm 9008  Fincfn 9009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013

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