Theorem ordsucuniel 7862

Description: Given an element 𝐴 of the union of an ordinal 𝐵, suc 𝐴 is an element of 𝐵 itself. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucuniel	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucuniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduni 7830	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → Ord ∪ 𝐵)
2		ordelord 6405	. . . 4 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ (Ord ∪ 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 → Ord 𝐴))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 → Ord 𝐴))
5		ordelord 6405	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord suc 𝐴)
6		ordsuc 7852	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
8	7	ex 418	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (suc 𝐴 ∈ 𝐵 → Ord 𝐴))
9		ordsson 7824	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
10		ordunisssuc 6492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ On ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ suc 𝐴))
11	9, 10	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ suc 𝐴))
12		ordtri1 6417	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵))
13	1, 12	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵))
14		ordtri1 6417	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐵 ⊆ suc 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
15	6, 14	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ suc 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
16	11, 13, 15	3bitr3d 312	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
17	16	con4bid 320	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	ex 418	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵)))
19	4, 8, 18	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  Ord word 6382  Oncon0 6383  suc csuc 6385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389

This theorem is used by:  naddsuc2  8742  dfac12lem1  10252  dfac12lem2  10253