Theorem ordsucuniel 7766

Description: Given an element 𝐴 of the union of an ordinal 𝐵, suc 𝐴 is an element of 𝐵 itself. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucuniel	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucuniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduni 7734	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → Ord ∪ 𝐵)
2		ordelord 6339	. . . 4 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (Ord ∪ 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 → Ord 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 → Ord 𝐴))
5		ordelord 6339	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord suc 𝐴)
6		ordsuc 7756	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7	5, 6	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (suc 𝐴 ∈ 𝐵 → Ord 𝐴))
9		ordsson 7728	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
10		ordunisssuc 6425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ On ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ suc 𝐴))
11	9, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ suc 𝐴))
12		ordtri1 6350	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ∪ 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵))
13	1, 12	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵))
14		ordtri1 6350	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐵 ⊆ suc 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
15	6, 14	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ suc 𝐴 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
16	11, 13, 15	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
17	16	con4bid 317	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵)))
19	4, 8, 18	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  naddsuc2  8629  dfac12lem1  10054  dfac12lem2  10055