Theorem ovconst2 7586

Description: The value of a constant operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
oprvalconst2.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovconst2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

Proof of Theorem ovconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		opelxpi 5713	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵))
3		oprvalconst2.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	fvconst2 7204	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
6	1, 5	eqtrid 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  ⟨cop 4634   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411

This theorem is referenced by:  indthinc  47662  indthincALT  47663