Theorem ovconst2 7613

Description: The value of a constant operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
oprvalconst2.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovconst2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

Proof of Theorem ovconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7434	. 2 ⊢ (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		opelxpi 5726	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵))
3		oprvalconst2.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	fvconst2 7224	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
6	1, 5	eqtrid 2787	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  ⟨cop 4637   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  indthinc  48853  indthincALT  48854