Theorem ovconst2 7601

Description: The value of a constant operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
oprvalconst2.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovconst2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

Proof of Theorem ovconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7423	. 2 ⊢ (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		opelxpi 5687	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵))
3		oprvalconst2.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	fvconst2 7210	. . 3 ⊢ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = 𝐶)
6	1, 5	eqtrid 2807	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → (𝑅((𝐴 × 𝐵) × {𝐶})𝑆) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  nelsubclem  50274  indthinc  50690  indthincALT  50691