Theorem fvconst2 7144

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 16-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconst2.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconst2	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fvconst2g 7142	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  ovconst2  7533  mapsncnv  8827  ofsubeq0  12143  ofsubge0  12145  ser0f  13980  hashinf  14260  iserge0  15586  iseraltlem1  15607  sum0  15646  sumz  15647  harmonic  15784  prodf1f  15817  fprodntriv  15867  prod1  15869  setcmon  18012  0mhm  18711  mulgfval  18966  mulgpropd  19013  dprdsubg  19923  pwspjmhmmgpd  20231  0lmhm  20962  frlmlmod  21674  frlmlss  21676  frlmbas  21680  frlmip  21703  islindf4  21763  mplsubglem  21924  psdmvr  22072  coe1tm  22175  evls1maprnss  22281  mdetuni0  22524  txkgen  23555  xkofvcn  23587  nmo0  24639  pcorevlem  24942  rrxip  25306  mbfpos  25568  0pval  25588  0pledm  25590  xrge0f  25648  itg2ge0  25652  ibl0  25704  bddibl  25757  dvcmul  25863  dvef  25900  rolle  25910  dveq0  25921  dv11cn  25922  ftc2  25967  tdeglem4  25981  ply1rem  26087  fta1g  26091  fta1blem  26092  0dgrb  26167  dgrnznn  26168  dgrlt  26188  plymul0or  26204  plydivlem4  26220  plyrem  26229  fta1  26232  vieta1lem2  26235  elqaalem3  26245  aaliou2  26264  ulmdvlem1  26325  dchrelbas2  27164  dchrisumlem3  27418  noetasuplem4  27664  noetainflem4  27668  axlowdimlem9  28913  axlowdimlem12  28916  axlowdimlem17  28921  0oval  30750  occllem  31265  ho01i  31790  0cnfn  31942  0lnfn  31947  nmfn0  31949  nlelchi  32023  opsqrlem2  32103  opsqrlem4  32105  opsqrlem5  32106  hmopidmchi  32113  elrspunidl  33375  coe1zfv  33532  lbsdiflsp0  33598  breprexpnat  34601  circlemethnat  34608  circlevma  34609  connpconn  35207  txsconnlem  35212  cvxsconn  35215  cvmliftphtlem  35289  fullfunfv  35920  matunitlindflem1  37595  matunitlindflem2  37596  ptrecube  37599  poimirlem1  37600  poimirlem2  37601  poimirlem3  37602  poimirlem4  37603  poimirlem5  37604  poimirlem6  37605  poimirlem7  37606  poimirlem10  37609  poimirlem11  37610  poimirlem12  37611  poimirlem16  37615  poimirlem17  37616  poimirlem19  37618  poimirlem20  37619  poimirlem22  37621  poimirlem23  37622  poimirlem28  37627  poimirlem29  37628  poimirlem30  37629  poimirlem31  37630  poimirlem32  37631  poimir  37632  broucube  37633  mblfinlem2  37637  itg2addnclem  37650  itg2addnc  37653  ftc1anclem5  37676  ftc2nc  37681  cnpwstotbnd  37776  lfl0f  39047  eqlkr2  39078  lcd0vvalN  41592  frlm0vald  42512  evlsvvval  42536  selvvvval  42558  evlselv  42560  mzpsubst  42721  mzpcompact2lem  42724  mzpcong  42945  hbtlem2  43097  mncn0  43112  mpaaeu  43123  aaitgo  43135  rngunsnply  43142  cantnfresb  43297  hashnzfzclim  44295  ofsubid  44297  dvconstbi  44307  binomcxplemnotnn0  44329  n0p  45023  snelmap  45060  cjnpoly  46874  sinnpoly  46876  fvconst0ci  48876  fvconstdomi  48877  islmd  49651  iscmd  49652  aacllem  49787