MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pleval2i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pleval2i 18293
Description: One direction of pleval2 18294. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pleval2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pleval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pleval2.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pleval2i ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
Proof of Theorem pleval2i
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6927 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 ∈ dom Base)
2 pleval2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
31, 2eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝐾 ∈ dom Base)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ dom Base)
5 pleval2.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 pleval2.s . . . . . . . . 9 < = (ltβ€˜πΎ)
75, 6pltval 18289 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ dom Base ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
873expb 1118 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ dom Base ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
94, 8mpancom 684 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
109biimpar 476 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
1110expr 455 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ 𝑋 < π‘Œ))
1211necon1bd 2956 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1312orrd 859 . 2 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ))
1413ex 411 1 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  ltcplt 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-plt 18287
This theorem is referenced by:  pleval2  18294  pospo  18302
  Copyright terms: Public domain W3C validator