MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pleval2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pleval2i 18217
Description: One direction of pleval2 18218. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pleval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pleval2.l = (le‘𝐾)
pleval2.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pleval2i ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))

Proof of Theorem pleval2i
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6876 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) → 𝐾 ∈ dom Base)
2 pleval2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝐾 ∈ dom Base)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ dom Base)
5 pleval2.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
6 pleval2.s . . . . . . . . 9 < = (lt‘𝐾)
75, 6pltval 18213 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ dom Base ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
873expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ dom Base ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
94, 8mpancom 686 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
109biimpar 478 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
1110expr 457 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋𝑌𝑋 < 𝑌))
1211necon1bd 2959 . . 3 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (¬ 𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1312orrd 861 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1413ex 413 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  cfv 6493  Basecbs 17075  lecple 17132  ltcplt 18189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-plt 18211
This theorem is referenced by:  pleval2  18218  pospo  18226
  Copyright terms: Public domain W3C validator