MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pleval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pleval2 18295
Description: "Less than or equal to" in terms of "less than". (sspss 4099 analog.) (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pleval2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pleval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pleval2.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pleval2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
Proof of Theorem pleval2
StepHypRef Expression
1 pleval2.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pleval2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 pleval2.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3pleval2i 18294 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
543adant1 1129 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
62, 3pltle 18291 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
71, 2posref 18276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
873adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
9 breq2 5152 . . . 4 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
108, 9syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
116, 10jaod 856 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
125, 11impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  ltcplt 18266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288
This theorem is referenced by:  pltletr  18301  plelttr  18302  tosso  18377  tlt3  32408  orngsqr  32693
  Copyright terms: Public domain W3C validator