Theorem pltirr 17943

Description: The "less than" relation is not reflexive. (pssirr 4032 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltirr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Proof of Theorem pltirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		pltne.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	2	pltne 17942	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
4	3	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
5	4	necon2bd 2959	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋 < 𝑋))
6	1, 5	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  ltcplt 17916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pr 5346

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4255  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5479  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fv 6423  df-plt 17938

This theorem is referenced by:  pospo  17953  atnlt  37233  llnnlt  37443  lplnnlt  37485  lvolnltN  37538