Theorem pltirr 18414

Description: The "less than" relation is not reflexive. (pssirr 4060 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltirr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Proof of Theorem pltirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		pltne.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	2	pltne 18413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
4	3	3anidm23 1448	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
5	4	necon2bd 2977	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋 < 𝑋))
6	1, 5	mpi 21	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ltcplt 18389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-plt 18409

This theorem is used by:  pospo  18424  atnlt  40128  llnnlt  40338  lplnnlt  40380  lvolnltN  40433