Theorem pltirr 18350

Description: The "less than" relation is not reflexive. (pssirr 4083 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltirr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Proof of Theorem pltirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		pltne.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	2	pltne 18349	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
4	3	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
5	4	necon2bd 2949	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋 < 𝑋))
6	1, 5	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  ltcplt 18325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-plt 18345

This theorem is referenced by:  pospo  18360  atnlt  39336  llnnlt  39547  lplnnlt  39589  lvolnltN  39642