MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltval 18377
Description: Less-than relation. (df-pss 3971 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l = (le‘𝐾)
pltval.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltval ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 pltval.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltfval 18376 . . . 4 (𝐾𝐴< = ( ∖ I ))
43breqd 5154 . . 3 (𝐾𝐴 → (𝑋 < 𝑌𝑋( ∖ I )𝑌))
5 brdif 5196 . . . 4 (𝑋( ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
6 ideqg 5862 . . . . . . 7 (𝑌𝐶 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
76necon3bbid 2978 . . . . . 6 (𝑌𝐶 → (¬ 𝑋 I 𝑌𝑋𝑌))
87adantl 481 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → (¬ 𝑋 I 𝑌𝑋𝑌))
98anbi2d 630 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → ((𝑋 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
105, 9bitrid 283 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋( ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
114, 10sylan9bb 509 . 2 ((𝐾𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐶)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
12113impb 1115 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948   class class class wbr 5143   I cid 5577  cfv 6561  lecple 17304  ltcplt 18354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-plt 18375
This theorem is referenced by:  pltle  18378  pltne  18379  pleval2i  18381  pltnle  18383  pltval3  18384  plttr  18387  latnlemlt  18517  latnle  18518  ipolt  18580  ogrpaddlt  33094  ogrpsublt  33098  ornglmullt  33337  orngrmullt  33338  orngmullt  33339  ofldlt1  33343  opltn0  39191  cvrval2  39275  cvrnbtwn2  39276  cvrnbtwn3  39277  cvrle  39279  cvrnbtwn4  39280  cvrne  39282  atlltn0  39307  hlrelat5N  39403  llnle  39520  lplnle  39542  llncvrlpln2  39559  lplncvrlvol2  39617  lhp2lt  40003  lautlt  40093
  Copyright terms: Public domain W3C validator