MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltval 18226
Description: Less-than relation. (df-pss 3930 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pltval.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pltval ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 pltval.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
31, 2pltfval 18225 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐴 β†’ < = ( ≀ βˆ– I ))
43breqd 5117 . . 3 (𝐾 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ 𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ))
5 brdif 5159 . . . 4 (𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 I π‘Œ))
6 ideqg 5808 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
76necon3bbid 2978 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Β¬ 𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
87adantl 483 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Β¬ 𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
98anbi2d 630 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 I π‘Œ) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
105, 9bitrid 283 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
114, 10sylan9bb 511 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
12113impb 1116 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   class class class wbr 5106   I cid 5531  β€˜cfv 6497  lecple 17145  ltcplt 18202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-plt 18224
This theorem is referenced by:  pltle  18227  pltne  18228  pleval2i  18230  pltnle  18232  pltval3  18233  plttr  18236  latnlemlt  18366  latnle  18367  ipolt  18429  ogrpaddlt  31974  ogrpsublt  31978  ornglmullt  32149  orngrmullt  32150  orngmullt  32151  ofldlt1  32155  opltn0  37698  cvrval2  37782  cvrnbtwn2  37783  cvrnbtwn3  37784  cvrle  37786  cvrnbtwn4  37787  cvrne  37789  atlltn0  37814  hlrelat5N  37910  llnle  38027  lplnle  38049  llncvrlpln2  38066  lplncvrlvol2  38124  lhp2lt  38510  lautlt  38600
  Copyright terms: Public domain W3C validator