MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltval 18285
Description: Less-than relation. (df-pss 3968 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pltval.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pltval ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 pltval.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
31, 2pltfval 18284 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐴 β†’ < = ( ≀ βˆ– I ))
43breqd 5160 . . 3 (𝐾 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ 𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ))
5 brdif 5202 . . . 4 (𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 I π‘Œ))
6 ideqg 5852 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
76necon3bbid 2979 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Β¬ 𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
87adantl 483 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Β¬ 𝑋 I π‘Œ ↔ 𝑋 β‰  π‘Œ))
98anbi2d 630 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 I π‘Œ) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
105, 9bitrid 283 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋( ≀ βˆ– I )π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
114, 10sylan9bb 511 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
12113impb 1116 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149   I cid 5574  β€˜cfv 6544  lecple 17204  ltcplt 18261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-plt 18283
This theorem is referenced by:  pltle  18286  pltne  18287  pleval2i  18289  pltnle  18291  pltval3  18292  plttr  18295  latnlemlt  18425  latnle  18426  ipolt  18488  ogrpaddlt  32235  ogrpsublt  32239  ornglmullt  32425  orngrmullt  32426  orngmullt  32427  ofldlt1  32431  opltn0  38060  cvrval2  38144  cvrnbtwn2  38145  cvrnbtwn3  38146  cvrle  38148  cvrnbtwn4  38149  cvrne  38151  atlltn0  38176  hlrelat5N  38272  llnle  38389  lplnle  38411  llncvrlpln2  38428  lplncvrlvol2  38486  lhp2lt  38872  lautlt  38962
  Copyright terms: Public domain W3C validator