Theorem pltval 18291

Description: Less-than relation. (df-pss 3934 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltval	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem pltval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pltval.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltfval 18290	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → < = ( ≤ ∖ I ))
4	3	breqd 5118	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋( ≤ ∖ I )𝑌))
5		brdif 5160	. . . 4 ⊢ (𝑋( ≤ ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
6		ideqg 5815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
7	6	necon3bbid 2962	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	5, 9	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋( ≤ ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	4, 10	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12	11	3impb 1114	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   class class class wbr 5107   I cid 5532  ‘cfv 6511  lecple 17227  ltcplt 18269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-plt 18289

This theorem is referenced by:  pltle  18292  pltne  18293  pleval2i  18295  pltnle  18297  pltval3  18298  plttr  18301  latnlemlt  18431  latnle  18432  ipolt  18494  ogrpaddlt  33031  ogrpsublt  33035  ornglmullt  33285  orngrmullt  33286  orngmullt  33287  ofldlt1  33291  opltn0  39183  cvrval2  39267  cvrnbtwn2  39268  cvrnbtwn3  39269  cvrle  39271  cvrnbtwn4  39272  cvrne  39274  atlltn0  39299  hlrelat5N  39395  llnle  39512  lplnle  39534  llncvrlpln2  39551  lplncvrlvol2  39609  lhp2lt  39995  lautlt  40085