Theorem pltval 18254

Description: Less-than relation. (df-pss 3925 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltval	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem pltval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pltval.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltfval 18253	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → < = ( ≤ ∖ I ))
4	3	breqd 5106	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋( ≤ ∖ I )𝑌))
5		brdif 5148	. . . 4 ⊢ (𝑋( ≤ ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
6		ideqg 5798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
7	6	necon3bbid 2962	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	5, 9	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋( ≤ ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	4, 10	sylan9bb 509	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12	11	3impb 1114	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5095   I cid 5517  ‘cfv 6486  lecple 17186  ltcplt 18232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-plt 18252

This theorem is referenced by:  pltle  18255  pltne  18256  pleval2i  18258  pltnle  18260  pltval3  18261  plttr  18264  latnlemlt  18396  latnle  18397  ipolt  18459  ogrpaddlt  20035  ogrpsublt  20039  ornglmullt  20772  orngrmullt  20773  orngmullt  20774  ofldlt1  20778  opltn0  39168  cvrval2  39252  cvrnbtwn2  39253  cvrnbtwn3  39254  cvrle  39256  cvrnbtwn4  39257  cvrne  39259  atlltn0  39284  hlrelat5N  39380  llnle  39497  lplnle  39519  llncvrlpln2  39536  lplncvrlvol2  39594  lhp2lt  39980  lautlt  40070