Theorem pltnlt 17644

Description: The less-than relation implies the negation of its inverse. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltnlt	⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 < 𝑋)

Proof of Theorem pltnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltnlt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2758	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pltnlt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pltnle 17642	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)
5	2, 3	pltle 17637	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
6	5	3com23 1123	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
7	6	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
8	4, 7	mtod 201	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 < 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  lecple 16630  Posetcpo 17616  ltcplt 17617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fv 6343  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634

This theorem is referenced by: (None)