Theorem pltnlt 18430

Description: The less-than relation implies the negation of its inverse. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltnlt	⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 < 𝑋)

Proof of Theorem pltnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltnlt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		pltnlt.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pltnle 18428	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)
5	2, 3	pltle 18423	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
6	5	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑋 → 𝑌(le‘𝐾)𝑋))
8	4, 7	mtod 201	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 < 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  lecple 17353  Posetcpo 18399  ltcplt 18400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420

This theorem is used by: (None)