Theorem pltval3 18543

Description: Alternate expression for the "less than" relation. (dfpss3 4019 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pleval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pleval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pleval2.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltval3	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)))

Proof of Theorem pltval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pleval2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pleval2.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltval 18536	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
4		pleval2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5	4, 1	posref 18524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
6	5	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
7		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 ≤ 𝑋 ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
8	6, 7	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 → 𝑌 ≤ 𝑋))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → 𝑌 ≤ 𝑋))
10	4, 1	posasymb 18525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
11	10	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 = 𝑌))
12	11	expdimp 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑋 → 𝑋 = 𝑌))
13	9, 12	impbid 215	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
14	13	necon3abid 2995	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋))
15	14	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)))
16	3, 15	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  lecple 17467  Posetcpo 18513  ltcplt 18514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534

This theorem is used by:  tltnle  18626  opltcon3b  40464