MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pltval3 18296
Description: Alternate expression for the "less than" relation. (dfpss3 4086 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pleval2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pleval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pleval2.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pltval3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
Proof of Theorem pltval3
StepHypRef Expression
1 pleval2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 pleval2.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
31, 2pltval 18289 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
4 pleval2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
54, 1posref 18275 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
653adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
7 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
86, 7syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
98adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
104, 1posasymb 18276 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1110biimpd 228 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1211expdimp 453 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
139, 12impbid 211 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
1413necon3abid 2977 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
1514pm5.32da 579 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
163, 15bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287
This theorem is referenced by:  tltnle  18379  opltcon3b  38377
  Copyright terms: Public domain W3C validator