MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltn2lp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pltn2lp 18298
Description: The less-than relation has no 2-cycle loops. (pssn2lp 4101 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltnlt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pltnlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pltn2lp ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋))
Proof of Theorem pltn2lp
StepHypRef Expression
1 pltnlt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 pltnlt.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3pltnle 18295 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋)
54ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋))
62, 3pltle 18290 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋))
763com23 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋))
85, 7nsyld 156 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ Β¬ π‘Œ < 𝑋))
9 imnan 400 . 2 ((𝑋 < π‘Œ β†’ Β¬ π‘Œ < 𝑋) ↔ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋))
108, 9sylib 217 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287
This theorem is referenced by:  plttr  18299
  Copyright terms: Public domain W3C validator