Theorem pltle 18343

Description: "Less than" implies "less than or equal to". (pssss 4073 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltle	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Proof of Theorem pltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pltval.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltval 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
4	3	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
5	4	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  lecple 17278  ltcplt 18320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-plt 18340

This theorem is referenced by:  pleval2  18347  pltnlt  18350  pltn2lp  18351  plttr  18352  pospo  18355  ogrpaddlt  33085  isarchi3  33185  archirngz  33187  archiabllem2a  33192  orngsqr  33326  ornglmullt  33329  orngrmullt  33330  atnlt  39331  cvlcvr1  39357  hlrelat  39421  hlrelat3  39431  cvratlem  39440  atltcvr  39454  atlelt  39457  llnnlt  39542  lplnnle2at  39560  lplnnlt  39584  lvolnle3at  39601  lvolnltN  39637  cdlemblem  39812  cdlemb  39813  lhpexle1  40027