MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltle 17559
Description: "Less than" implies "less than or equal to". (pssss 4069 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l = (le‘𝐾)
pltval.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltle ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))

Proof of Theorem pltle
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 pltval.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 17558 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
43simprbda 499 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 𝑌)
54ex 413 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  ltcplt 17539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-plt 17556
This theorem is referenced by:  pleval2  17563  pltnlt  17566  pltn2lp  17567  plttr  17568  pospo  17571  ogrpaddlt  30645  isarchi3  30743  archirngz  30745  archiabllem2a  30750  orngsqr  30804  ornglmullt  30807  orngrmullt  30808  atnlt  36329  cvlcvr1  36355  hlrelat  36418  hlrelat3  36428  cvratlem  36437  atltcvr  36451  atlelt  36454  llnnlt  36539  lplnnle2at  36557  lplnnlt  36581  lvolnle3at  36598  lvolnltN  36634  cdlemblem  36809  cdlemb  36810  lhpexle1  37024
  Copyright terms: Public domain W3C validator