MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltle 18378
Description: "Less than" implies "less than or equal to". (pssss 4098 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l = (le‘𝐾)
pltval.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltle ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))

Proof of Theorem pltle
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 pltval.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 18377 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
43simprbda 498 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 𝑌)
54ex 412 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  lecple 17304  ltcplt 18354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-plt 18375
This theorem is referenced by:  pleval2  18382  pltnlt  18385  pltn2lp  18386  plttr  18387  pospo  18390  ogrpaddlt  33094  isarchi3  33194  archirngz  33196  archiabllem2a  33201  orngsqr  33334  ornglmullt  33337  orngrmullt  33338  atnlt  39314  cvlcvr1  39340  hlrelat  39404  hlrelat3  39414  cvratlem  39423  atltcvr  39437  atlelt  39440  llnnlt  39525  lplnnle2at  39543  lplnnlt  39567  lvolnle3at  39584  lvolnltN  39620  cdlemblem  39795  cdlemb  39796  lhpexle1  40010
  Copyright terms: Public domain W3C validator