Theorem pltle 18346

Description: "Less than" implies "less than or equal to". (pssss 4051 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltle	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Proof of Theorem pltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pltval.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltval 18345	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
4	3	simprbda 502	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
5	4	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  lecple 17276  ltcplt 18323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-plt 18343

This theorem is referenced by:  pleval2  18350  pltnlt  18353  pltn2lp  18354  plttr  18355  pospo  18358  ogrpaddlt  20161  orngsqr  20895  ornglmullt  20898  orngrmullt  20899  isarchi3  33328  archirngz  33330  archiabllem2a  33335  atnlt  39901  cvlcvr1  39927  hlrelat  39990  hlrelat3  40000  cvratlem  40009  atltcvr  40023  atlelt  40026  llnnlt  40111  lplnnle2at  40129  lplnnlt  40153  lvolnle3at  40170  lvolnltN  40206  cdlemblem  40381  cdlemb  40382  lhpexle1  40596