Theorem resvid2 31429

Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvid2	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem resvid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
2		resvsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		resvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	1, 2, 3	resvval 31428	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
5		iftrue 4462	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)) = 𝑊)
6	4, 5	sylan9eqr 2801	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	3impb 1113	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891   ↾_v cresv 31425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-resv 31426

This theorem is referenced by:  resvsca  31431  resvlem  31432  resvlemOLD  31433