Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvid2 33334
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
resvid2 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem resvid2
StepHypRef Expression
1 resvsca.r . . . 4 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
2 resvsca.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 resvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
41, 2, 3resvval 33333 . . 3 ((𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
5 iftrue 4537 . . 3 (𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)) = 𝑊)
64, 5sylan9eqr 2797 . 2 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝑋𝐴𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
763impb 1114 1 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  ifcif 4531  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  v cresv 33330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-resv 33331
This theorem is referenced by:  resvsca  33336  resvlem  33337  resvlemOLD  33338
  Copyright terms: Public domain W3C validator