Theorem resvid2 33975

Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvid2	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem resvid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
2		resvsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		resvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	1, 2, 3	resvval 33974	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
5		iftrue 4491	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)) = 𝑊)
6	4, 5	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   sSet csts 17373  ndxcnx 17403  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  Scalarcsca 17463   ↾_v cresv 33971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-resv 33972

This theorem is used by:  resvsca  33977  resvlem  33978