Theorem resvid2 33355

Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvid2	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem resvid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
2		resvsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		resvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	1, 2, 3	resvval 33354	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
5		iftrue 4530	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → if(𝐵 ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)) = 𝑊)
6	4, 5	sylan9eqr 2798	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	3impb 1114	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  ⟨cop 4631  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  Scalarcsca 17301   ↾_v cresv 33351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-resv 33352

This theorem is referenced by:  resvsca  33357  resvlem  33358  resvlemOLD  33359