Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlemOLD 31768
Description: Obsolete version of resvlem 31767 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlemOLD.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvlemOLD.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resvlemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b 𝑁 ≠ 5
Assertion
Ref Expression
resvlemOLD (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD
StepHypRef Expression
1 resvlemOLD.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resvlemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4resvid2 31764 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
65fveq2d 6823 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
763expib 1121 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
82, 3, 4resvval2 31765 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
98fveq2d 6823 . . . . . 6 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10 resvlemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
11 resvlemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 16987 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1310, 11ndxarg 16986 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
14 resvlemOLD.b . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 5
1513, 14eqnetri 3011 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 5
16 scandx 17113 . . . . . . . 8 (Scalar‘ndx) = 5
1715, 16neeqtrri 3014 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
1812, 17setsnid 16999 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
199, 18eqtr4di 2794 . . . . 5 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
20193expib 1121 . . . 4 (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
217, 20pm2.61i 182 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
22 reldmresv 31762 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾v
2322ovprc1 7368 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
242, 23eqtrid 2788 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2524fveq2d 6823 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
2610str0 16979 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2725, 26eqtr4di 2794 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
28 fvprc 6811 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
2927, 28eqtr4d 2779 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3029adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3121, 30pm2.61ian 809 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
321, 31eqtr4id 2795 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  Vcvv 3441  wss 3897  c0 4268  cop 4578  cfv 6473  (class class class)co 7329  cn 12066  5c5 12124   sSet csts 16953  Slot cslot 16971  ndxcnx 16983  Basecbs 17001  s cress 17030  Scalarcsca 17054  v cresv 31760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-1cn 11022  ax-addcl 11024
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-sca 17067  df-resv 31761
This theorem is referenced by:  resvbasOLD  31770  resvplusgOLD  31772  resvvscaOLD  31774  resvmulrOLD  31776
  Copyright terms: Public domain W3C validator