Theorem resvlemOLD 32123

Description: Obsolete version of resvlem 32122 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b	⊢ 𝑁 ≠ 5

Assertion

Ref	Expression
resvlemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 32119	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1122	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 32120	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
11		resvlemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12	10, 11	ndxid 17069	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
13	10, 11	ndxarg 17068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
14		resvlemOLD.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 5
15	13, 14	eqnetri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
16		scandx 17195	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
17	15, 16	neeqtrri 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	12, 17	setsnid 17081	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
19	9, 18	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	7, 20	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmresv 32117	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾v
23	22	ovprc1 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
24	2, 23	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	10	str0 17061	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	1, 31	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℕcn 12153  5c5 12211   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  Scalarcsca 17136   ↾_v cresv 32115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-sca 17149  df-resv 32116

This theorem is referenced by:  resvbasOLD  32125  resvplusgOLD  32127  resvvscaOLD  32129  resvmulrOLD  32131