Theorem resvlemOLD 33358

Description: Obsolete version of resvlem 33357 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b	⊢ 𝑁 ≠ 5

Assertion

Ref	Expression
resvlemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 33354	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1123	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 33355	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
11		resvlemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12	10, 11	ndxid 17234	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
13	10, 11	ndxarg 17233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
14		resvlemOLD.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 5
15	13, 14	eqnetri 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
16		scandx 17358	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
17	15, 16	neeqtrri 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	12, 17	setsnid 17245	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
19	9, 18	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	7, 20	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmresv 33352	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾v
23	22	ovprc1 7470	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
24	2, 23	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	10	str0 17226	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6898	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	1, 31	eqtr4id 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  5c5 12324   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Scalarcsca 17300   ↾_v cresv 33350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-sca 17313  df-resv 33351

This theorem is referenced by:  resvbasOLD  33360  resvplusgOLD  33362  resvvscaOLD  33364  resvmulrOLD  33366