Theorem resvlemOLD 31768

Description: Obsolete version of resvlem 31767 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b	⊢ 𝑁 ≠ 5

Assertion

Ref	Expression
resvlemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 31764	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6823	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1121	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 31765	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6823	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
11		resvlemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12	10, 11	ndxid 16987	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
13	10, 11	ndxarg 16986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
14		resvlemOLD.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 5
15	13, 14	eqnetri 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
16		scandx 17113	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
17	15, 16	neeqtrri 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	12, 17	setsnid 16999	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
19	9, 18	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1121	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	7, 20	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmresv 31762	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾v
23	22	ovprc1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
24	2, 23	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6823	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	10	str0 16979	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6811	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	1, 31	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441   ⊆ wss 3897  ∅c0 4268  ⟨cop 4578  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℕcn 12066  5c5 12124   sSet csts 16953  Slot cslot 16971  ndxcnx 16983  Basecbs 17001   ↾_s cress 17030  Scalarcsca 17054   ↾_v cresv 31760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-1cn 11022  ax-addcl 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-sca 17067  df-resv 31761

This theorem is referenced by:  resvbasOLD  31770  resvplusgOLD  31772  resvvscaOLD  31774  resvmulrOLD  31776