Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlemOLD 32170
Description: Obsolete version of resvlem 32169 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlemOLD.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
resvlemOLD.e 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
resvlemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n 𝑁 ∈ β„•
resvlemOLD.b 𝑁 β‰  5
Assertion
Ref Expression
resvlemOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))

Proof of Theorem resvlemOLD
StepHypRef Expression
1 resvlemOLD.e . 2 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
2 resvlemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
52, 3, 4resvid2 32166 . . . . . 6 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
65fveq2d 6847 . . . . 5 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
763expib 1123 . . . 4 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
82, 3, 4resvval2 32167 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs 𝐴)⟩))
98fveq2d 6847 . . . . . 6 ((Β¬ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs 𝐴)⟩)))
10 resvlemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
11 resvlemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
1210, 11ndxid 17074 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
1310, 11ndxarg 17073 . . . . . . . . 9 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
14 resvlemOLD.b . . . . . . . . 9 𝑁 β‰  5
1513, 14eqnetri 3011 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) β‰  5
16 scandx 17200 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜ndx) = 5
1715, 16neeqtrri 3014 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Scalarβ€˜ndx)
1812, 17setsnid 17086 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((Scalarβ€˜π‘Š) β†Ύs 𝐴)⟩))
199, 18eqtr4di 2791 . . . . 5 ((Β¬ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
20193expib 1123 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
217, 20pm2.61i 182 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
22 reldmresv 32164 . . . . . . . . 9 Rel dom β†Ύv
2322ovprc1 7397 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύv 𝐴) = βˆ…)
242, 23eqtrid 2785 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
2524fveq2d 6847 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜βˆ…))
2610str0 17066 . . . . . 6 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
2725, 26eqtr4di 2791 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = βˆ…)
28 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
2927, 28eqtr4d 2776 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3029adantr 482 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3121, 30pm2.61ian 811 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
321, 31eqtr4id 2792 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„•cn 12158  5c5 12216   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  Scalarcsca 17141   β†Ύv cresv 32162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-sca 17154  df-resv 32163
This theorem is referenced by:  resvbasOLD  32172  resvplusgOLD  32174  resvvscaOLD  32176  resvmulrOLD  32178
  Copyright terms: Public domain W3C validator