Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlemOLD 32123
Description: Obsolete version of resvlem 32122 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlemOLD.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvlemOLD.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resvlemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b 𝑁 ≠ 5
Assertion
Ref Expression
resvlemOLD (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD
StepHypRef Expression
1 resvlemOLD.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resvlemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4resvid2 32119 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
65fveq2d 6846 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
763expib 1122 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
82, 3, 4resvval2 32120 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
98fveq2d 6846 . . . . . 6 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10 resvlemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
11 resvlemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 17069 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1310, 11ndxarg 17068 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
14 resvlemOLD.b . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 5
1513, 14eqnetri 3014 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 5
16 scandx 17195 . . . . . . . 8 (Scalar‘ndx) = 5
1715, 16neeqtrri 3017 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
1812, 17setsnid 17081 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
199, 18eqtr4di 2794 . . . . 5 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
20193expib 1122 . . . 4 (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
217, 20pm2.61i 182 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
22 reldmresv 32117 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾v
2322ovprc1 7396 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
242, 23eqtrid 2788 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2524fveq2d 6846 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
2610str0 17061 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2725, 26eqtr4di 2794 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
28 fvprc 6834 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
2927, 28eqtr4d 2779 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3029adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3121, 30pm2.61ian 810 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
321, 31eqtr4id 2795 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7357  cn 12153  5c5 12211   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  s cress 17112  Scalarcsca 17136  v cresv 32115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-sca 17149  df-resv 32116
This theorem is referenced by:  resvbasOLD  32125  resvplusgOLD  32127  resvvscaOLD  32129  resvmulrOLD  32131
  Copyright terms: Public domain W3C validator