Theorem resvlemOLD 31408

Description: Obsolete version of resvlem 31407 as of 31-Oct-2024. Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resvlemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resvlemOLD.b	⊢ 𝑁 ≠ 5

Assertion

Ref	Expression
resvlemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 31404	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6757	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1124	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 31405	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6757	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
11		resvlemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12	10, 11	ndxid 16801	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
13	10, 11	ndxarg 16800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
14		resvlemOLD.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 5
15	13, 14	eqnetri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
16		scandx 16925	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
17	15, 16	neeqtrri 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	12, 17	setsnid 16813	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
19	9, 18	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1124	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	7, 20	pm2.61i 185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmresv 31402	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾v
23	22	ovprc1 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
24	2, 23	syl5eq 2792	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6757	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	10	str0 16793	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6745	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	1, 31	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  Vcvv 3423   ⊆ wss 3884  ∅c0 4254  ⟨cop 4564  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  ℕcn 11878  5c5 11936   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  Basecbs 16815   ↾_s cress 16842  Scalarcsca 16866   ↾_v cresv 31400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-1cn 10835  ax-addcl 10837

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-sca 16879  df-resv 31401

This theorem is referenced by:  resvbasOLD  31410  resvplusgOLD  31412  resvvscaOLD  31414  resvmulrOLD  31416