Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resvsca 32444
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
resvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
4 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
53, 4ressid2 17177 . . . . . . 7 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
62, 5mp3an2 1450 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
763adant2 1132 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
8 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
98, 1, 4resvid2 32442 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
109fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘Š))
111, 7, 103eqtr4a 2799 . . . 4 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
12113expib 1123 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…)))
13 simp2 1138 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
14 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V
15 scaid 17260 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
1615setsid 17141 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
1713, 14, 16sylancl 587 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
188, 1, 4resvval2 32443 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩))
1918fveq2d 6896 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
2017, 19eqtr4d 2776 . . . 4 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
21203expib 1123 . . 3 (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…)))
2212, 21pm2.61i 182 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
23 0fv 6936 . . . . 5 (βˆ…β€˜(Scalarβ€˜ndx)) = βˆ…
24 0ex 5308 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2524, 15strfvn 17119 . . . . 5 (Scalarβ€˜βˆ…) = (βˆ…β€˜(Scalarβ€˜ndx))
26 ress0 17188 . . . . 5 (βˆ… β†Ύs 𝐴) = βˆ…
2723, 25, 263eqtr4ri 2772 . . . 4 (βˆ… β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜βˆ…)
28 fvprc 6884 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = βˆ…)
291, 28eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐹 = βˆ…)
3029oveq1d 7424 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (βˆ… β†Ύs 𝐴))
31 reldmresv 32440 . . . . . . 7 Rel dom β†Ύv
3231ovprc1 7448 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύv 𝐴) = βˆ…)
338, 32eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
3433fveq2d 6896 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜βˆ…))
3527, 30, 343eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
3635adantr 482 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
3722, 36pm2.61ian 811 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Scalarcsca 17200   β†Ύv cresv 32438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-sca 17213  df-resv 32439
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  32463  sitgaddlemb  33347
  Copyright terms: Public domain W3C validator