Theorem resvsca 33392

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvsca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	fvexi 6847	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
4		resvsca.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	ressid2 17163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
6	2, 5	mp3an2 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
7	6	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
8		resvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
9	8, 1, 4	resvid2 33390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
10	9	fveq2d 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
11	1, 7, 10	3eqtr4a 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12	11	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V
15		scaid 17237	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
16	15	setsid 17136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
17	13, 14, 16	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
18	8, 1, 4	resvval2 33391	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩))
19	18	fveq2d 6837	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
20	17, 19	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21	20	3expib 1123	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
22	12, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23		0fv 6874	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24		0ex 5251	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25	24, 15	strfvn 17115	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26		ress0 17172	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅
27	23, 25, 26	3eqtr4ri 2769	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28		fvprc 6825	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
30	29	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31		reldmresv 33388	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾v
32	31	ovprc1 7397	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
33	8, 32	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
34	33	fveq2d 6837	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
35	27, 30, 34	3eqtr4a 2796	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
37	22, 36	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  ⟨cop 4585  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  Scalarcsca 17182   ↾_v cresv 33386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-sca 17195  df-resv 33387

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33408  sitgaddlemb  34484