Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvsca 31248
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21fvexi 6731 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
4 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
53, 4ressid2 16788 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
62, 5mp3an2 1451 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
763adant2 1133 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
8 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
98, 1, 4resvid2 31246 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
109fveq2d 6721 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
111, 7, 103eqtr4a 2804 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12113expib 1124 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13 simp2 1139 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14 ovex 7246 . . . . . 6 (𝐹s 𝐴) ∈ V
15 scaid 16856 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
1615setsid 16758 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ V) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
1713, 14, 16sylancl 589 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
188, 1, 4resvval2 31247 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩))
1918fveq2d 6721 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
2017, 19eqtr4d 2780 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21203expib 1124 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
2212, 21pm2.61i 185 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23 0fv 6756 . . . . 5 (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24 0ex 5200 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2524, 15strfvn 16739 . . . . 5 (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26 ress0 16795 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐴) = ∅
2723, 25, 263eqtr4ri 2776 . . . 4 (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28 fvprc 6709 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
291, 28syl5eq 2790 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
3029oveq1d 7228 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31 reldmresv 31244 . . . . . . 7 Rel dom ↾v
3231ovprc1 7252 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
338, 32syl5eq 2790 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3433fveq2d 6721 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
3527, 30, 343eqtr4a 2804 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3635adantr 484 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3722, 36pm2.61ian 812 1 (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237  cop 4547  cfv 6380  (class class class)co 7213   sSet csts 16716  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  s cress 16784  Scalarcsca 16805  v cresv 31242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-sca 16818  df-resv 31243
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  31262  sitgaddlemb  32027
  Copyright terms: Public domain W3C validator