Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvsca 33335
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21fvexi 6920 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
3 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
4 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
53, 4ressid2 17277 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
62, 5mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
763adant2 1130 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
8 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
98, 1, 4resvid2 33333 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
109fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
111, 7, 103eqtr4a 2800 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12113expib 1121 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13 simp2 1136 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14 ovex 7463 . . . . . 6 (𝐹s 𝐴) ∈ V
15 scaid 17360 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
1615setsid 17241 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ V) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
1713, 14, 16sylancl 586 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
188, 1, 4resvval2 33334 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩))
1918fveq2d 6910 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
2017, 19eqtr4d 2777 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21203expib 1121 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
2212, 21pm2.61i 182 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23 0fv 6950 . . . . 5 (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24 0ex 5312 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2524, 15strfvn 17219 . . . . 5 (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26 ress0 17288 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐴) = ∅
2723, 25, 263eqtr4ri 2773 . . . 4 (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28 fvprc 6898 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
291, 28eqtrid 2786 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
3029oveq1d 7445 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31 reldmresv 33331 . . . . . . 7 Rel dom ↾v
3231ovprc1 7469 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
338, 32eqtrid 2786 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3433fveq2d 6910 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
3527, 30, 343eqtr4a 2800 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3635adantr 480 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3722, 36pm2.61ian 812 1 (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  cop 4636  cfv 6562  (class class class)co 7430   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  s cress 17273  Scalarcsca 17300  v cresv 33329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-sca 17313  df-resv 33330
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33355  sitgaddlemb  34329
  Copyright terms: Public domain W3C validator