Theorem resvsca 33304

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvsca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	fvexi 6872	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
4		resvsca.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	ressid2 17204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
6	2, 5	mp3an2 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
7	6	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
8		resvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
9	8, 1, 4	resvid2 33302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
10	9	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
11	1, 7, 10	3eqtr4a 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12	11	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V
15		scaid 17278	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
16	15	setsid 17177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
17	13, 14, 16	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
18	8, 1, 4	resvval2 33303	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩))
19	18	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
20	17, 19	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21	20	3expib 1122	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
22	12, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23		0fv 6902	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24		0ex 5262	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25	24, 15	strfvn 17156	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26		ress0 17213	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅
27	23, 25, 26	3eqtr4ri 2763	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28		fvprc 6850	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
30	29	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31		reldmresv 33300	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾v
32	31	ovprc1 7426	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
33	8, 32	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
34	33	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
35	27, 30, 34	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
37	22, 36	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223   ↾_v cresv 33298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-sca 17236  df-resv 33299

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33319  sitgaddlemb  34339