Theorem resvsca 31431

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvsca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
4		resvsca.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	ressid2 16871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
6	2, 5	mp3an2 1447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
7	6	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
8		resvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
9	8, 1, 4	resvid2 31429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
10	9	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
11	1, 7, 10	3eqtr4a 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12	11	3expib 1120	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V
15		scaid 16951	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
16	15	setsid 16837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
17	13, 14, 16	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
18	8, 1, 4	resvval2 31430	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩))
19	18	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
20	17, 19	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21	20	3expib 1120	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
22	12, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23		0fv 6795	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24		0ex 5226	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25	24, 15	strfvn 16815	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26		ress0 16879	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅
27	23, 25, 26	3eqtr4ri 2777	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28		fvprc 6748	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
30	29	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31		reldmresv 31427	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾v
32	31	ovprc1 7294	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
33	8, 32	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
34	33	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
35	27, 30, 34	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
37	22, 36	pm2.61ian 808	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891   ↾_v cresv 31425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-sca 16904  df-resv 31426

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  31450  sitgaddlemb  32215