Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resvsca 32485
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
resvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
4 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
53, 4ressid2 17179 . . . . . . 7 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
62, 5mp3an2 1449 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
763adant2 1131 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = 𝐹)
8 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύv 𝐴)
98, 1, 4resvid2 32483 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
109fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘Š))
111, 7, 103eqtr4a 2798 . . . 4 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
12113expib 1122 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…)))
13 simp2 1137 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
14 ovex 7444 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V
15 scaid 17262 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
1615setsid 17143 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
1713, 14, 16sylancl 586 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
188, 1, 4resvval2 32484 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩))
1918fveq2d 6895 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (𝐹 β†Ύs 𝐴)⟩)))
2017, 19eqtr4d 2775 . . . 4 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
21203expib 1122 . . 3 (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…)))
2212, 21pm2.61i 182 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
23 0fv 6935 . . . . 5 (βˆ…β€˜(Scalarβ€˜ndx)) = βˆ…
24 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2524, 15strfvn 17121 . . . . 5 (Scalarβ€˜βˆ…) = (βˆ…β€˜(Scalarβ€˜ndx))
26 ress0 17190 . . . . 5 (βˆ… β†Ύs 𝐴) = βˆ…
2723, 25, 263eqtr4ri 2771 . . . 4 (βˆ… β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜βˆ…)
28 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = βˆ…)
291, 28eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐹 = βˆ…)
3029oveq1d 7426 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (βˆ… β†Ύs 𝐴))
31 reldmresv 32481 . . . . . . 7 Rel dom β†Ύv
3231ovprc1 7450 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύv 𝐴) = βˆ…)
338, 32eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
3433fveq2d 6895 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜βˆ…))
3527, 30, 343eqtr4a 2798 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
3635adantr 481 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
3722, 36pm2.61ian 810 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (Scalarβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   sSet csts 17098  ndxcnx 17128  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  Scalarcsca 17202   β†Ύv cresv 32479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-sca 17215  df-resv 32480
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  32504  sitgaddlemb  33416
  Copyright terms: Public domain W3C validator