Theorem resvsca 33356

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvsca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	fvexi 6920	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
4		resvsca.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	ressid2 17278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
6	2, 5	mp3an2 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
7	6	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
8		resvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
9	8, 1, 4	resvid2 33354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
10	9	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
11	1, 7, 10	3eqtr4a 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12	11	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V
15		scaid 17359	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
16	15	setsid 17244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
17	13, 14, 16	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
18	8, 1, 4	resvval2 33355	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩))
19	18	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
20	17, 19	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21	20	3expib 1123	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
22	12, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23		0fv 6950	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25	24, 15	strfvn 17223	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26		ress0 17289	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅
27	23, 25, 26	3eqtr4ri 2776	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
30	29	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31		reldmresv 33352	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾v
32	31	ovprc1 7470	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
33	8, 32	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
34	33	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
35	27, 30, 34	3eqtr4a 2803	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
37	22, 36	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Scalarcsca 17300   ↾_v cresv 33350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-sca 17313  df-resv 33351

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33376  sitgaddlemb  34350