Theorem resvsca 33321

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvsca.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
resvsca	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
4		resvsca.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	ressid2 17291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
6	2, 5	mp3an2 1449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
7	6	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = 𝐹)
8		resvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
9	8, 1, 4	resvid2 33319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
10	9	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
11	1, 7, 10	3eqtr4a 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
12	11	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
14		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V
15		scaid 17374	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
16	15	setsid 17255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ V) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
17	13, 14, 16	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
18	8, 1, 4	resvval2 33320	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩))
19	18	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹 ↾s 𝐴)⟩)))
20	17, 19	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
21	20	3expib 1122	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
22	12, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
23		0fv 6964	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
24		0ex 5325	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25	24, 15	strfvn 17233	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
26		ress0 17302	. . . . 5 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = ∅
27	23, 25, 26	3eqtr4ri 2779	. . . 4 ⊢ (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
28		fvprc 6912	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
29	1, 28	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
30	29	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
31		reldmresv 33317	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾v
32	31	ovprc1 7487	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
33	8, 32	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
34	33	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
35	27, 30, 34	3eqtr4a 2806	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
37	22, 36	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   sSet csts 17210  ndxcnx 17240  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  Scalarcsca 17314   ↾_v cresv 33315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-sca 17327  df-resv 33316

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33341  sitgaddlemb  34313