Theorem resvlem 30899

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resvlem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resvlem.b	⊢ 𝑁 ≠ 5

Assertion

Ref	Expression
resvlem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
2		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	1, 2, 3	resvid2 30896	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1118	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	1, 2, 3	resvval2 30897	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
8	7	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
9		resvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		resvlem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16503	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	9, 10	ndxarg 16502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13		resvlem.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 5
14	12, 13	eqnetri 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
15		scandx 16626	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeqtrri 3089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
17	11, 16	setsnid 16533	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
18	8, 17	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
19	18	3expib 1118	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
20	6, 19	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21		reldmresv 30894	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾v
22	21	ovprc1 7189	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾v 𝐴) = ∅)
23	1, 22	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
24	23	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
25	9	str0 16529	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
26	24, 25	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
27		fvprc 6657	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
28	26, 27	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
29	28	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	20, 29	pm2.61ian 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31		resvlem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
32	30, 31	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ⟨cop 4566  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℕcn 11632  5c5 11689  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Slot cslot 16476  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  Scalarcsca 16562   ↾_v cresv 30892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-sca 16575  df-resv 30893

This theorem is referenced by:  resvbas  30900  resvplusg  30901  resvvsca  30902  resvmulr  30903