Theorem resvlem 33592

Description: Other elements of a scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlem.f	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resvlem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
resvlem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 33589	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1138	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 33590	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		resvlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17264	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
13	9, 12	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
14	13	3expib 1138	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
15	7, 14	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
16	10	str0 17245	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
17	16	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
18		reldmresv 33587	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾v
19	17, 2, 18	oveqprc 17248	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝑅))
20	19	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	adantr 485	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22	15, 21	pm2.61ian 823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23	1, 22	eqtr4id 2823	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ⟨cop 4597  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   sSet csts 17219  Slot cslot 17237  ndxcnx 17249  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  Scalarcsca 17309   ↾_v cresv 33585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-sets 17220  df-slot 17238  df-resv 33586

This theorem is referenced by:  resvbas  33593  resvplusg  33594  resvvsca  33595  resvmulr  33596