Theorem resvlem 33416

Description: Other elements of a scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlem.f	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resvlem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
resvlem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 33413	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1128	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 33414	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		resvlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17169	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
13	9, 12	eqtr4di 2792	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
14	13	3expib 1128	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
15	7, 14	pm2.61i 183	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
16	10	str0 17150	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
17	16	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
18		reldmresv 33411	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾v
19	17, 2, 18	oveqprc 17153	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝑅))
20	19	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22	15, 21	pm2.61ian 817	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23	1, 22	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ⟨cop 4561  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   sSet csts 17124  Slot cslot 17142  ndxcnx 17154  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  Scalarcsca 17214   ↾_v cresv 33409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-res 5630  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-sets 17125  df-slot 17143  df-resv 33410

This theorem is referenced by:  resvbas  33417  resvplusg  33418  resvvsca  33419  resvmulr  33420