Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlem 30940
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvlem.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resvlem.f 𝐸 = Slot 𝑁
resvlem.n 𝑁 ∈ ℕ
resvlem.b 𝑁 ≠ 5
Assertion
Ref Expression
resvlem (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
2 eqid 2824 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
41, 2, 3resvid2 30937 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
54fveq2d 6665 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
653expib 1119 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
71, 2, 3resvval2 30938 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
87fveq2d 6665 . . . . . 6 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
9 resvlem.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resvlem.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 16509 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
129, 10ndxarg 16508 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
13 resvlem.b . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 5
1412, 13eqnetri 3084 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 5
15 scandx 16632 . . . . . . . 8 (Scalar‘ndx) = 5
1614, 15neeqtrri 3087 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
1711, 16setsnid 16539 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
188, 17syl6eqr 2877 . . . . 5 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
19183expib 1119 . . . 4 (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
206, 19pm2.61i 185 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
21 reldmresv 30935 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾v
2221ovprc1 7188 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
231, 22syl5eq 2871 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2423fveq2d 6665 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
259str0 16535 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2624, 25syl6eqr 2877 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
27 fvprc 6654 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
2826, 27eqtr4d 2862 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
2928adantr 484 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3020, 29pm2.61ian 811 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
31 resvlem.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
3230, 31syl6reqr 2878 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  wss 3919  c0 4276  cop 4556  cfv 6343  (class class class)co 7149  cn 11634  5c5 11692  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Slot cslot 16482  Basecbs 16483  s cress 16484  Scalarcsca 16568  v cresv 30933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-addcl 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-sca 16581  df-resv 30934
This theorem is referenced by:  resvbas  30941  resvplusg  30942  resvvsca  30943  resvmulr  30944
  Copyright terms: Public domain W3C validator