Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvlem 33358
Description: Other elements of a scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
resvlem.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvlem.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resvlem.f 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resvlem.n (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
Assertion
Ref Expression
resvlem (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resvlem
StepHypRef Expression
1 resvlem.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resvlem.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4resvid2 33355 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
65fveq2d 6909 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
763expib 1122 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
82, 3, 4resvval2 33356 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
98fveq2d 6909 . . . . . 6 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10 resvlem.f . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11 resvlem.n . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
1210, 11setsnid 17246 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
139, 12eqtr4di 2794 . . . . 5 ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
14133expib 1122 . . . 4 (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
157, 14pm2.61i 182 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
1610str0 17227 . . . . . . 7 ∅ = (𝐸‘∅)
1716eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝐸‘∅) = ∅
18 reldmresv 33353 . . . . . 6 Rel dom ↾v
1917, 2, 18oveqprc 17230 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸𝑅))
2019eqcomd 2742 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
2120adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
2215, 21pm2.61ian 811 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
231, 22eqtr4id 2795 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432   sSet csts 17201  Slot cslot 17219  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  s cress 17275  Scalarcsca 17301  v cresv 33351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-res 5696  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-sets 17202  df-slot 17220  df-resv 33352
This theorem is referenced by:  resvbas  33360  resvplusg  33362  resvvsca  33364  resvmulr  33366
  Copyright terms: Public domain W3C validator