Theorem resvlem 33342

Description: Other elements of a scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvlem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
resvlem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resvlem.f	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resvlem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
resvlem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvlem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾v 𝐴)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	resvid2 33339	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
6	5	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
7	6	3expib 1122	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
8	2, 3, 4	resvval2 33340	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
9	8	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩)))
10		resvlem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		resvlem.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	10, 11	setsnid 17126	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ((Scalar‘𝑊) ↾s 𝐴)⟩))
13	9, 12	eqtr4di 2786	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
14	13	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
15	7, 14	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
16	10	str0 17107	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
17	16	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
18		reldmresv 33337	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾v
19	17, 2, 18	oveqprc 17110	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝑅))
20	19	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22	15, 21	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23	1, 22	eqtr4id 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ⟨cop 4583  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   sSet csts 17081  Slot cslot 17099  ndxcnx 17111  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  Scalarcsca 17171   ↾_v cresv 33335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-res 5633  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-sets 17082  df-slot 17100  df-resv 33336

This theorem is referenced by:  resvbas  33343  resvplusg  33344  resvvsca  33345  resvmulr  33346